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Lemmes de multiplicités et intersections. (Multiplicity estimates and intersections). (French) Zbl 0786.11045
Soit \(A\) une variété abélienne de dimension \(g\) définie sur \(\mathbb{C}\) et plongée dans un espace projectif \(\mathbb{P}_ N\). Soit \(\Gamma\) un sous-ensemble fini die \(A\) (contenant l’origine) et \(W\) un sous-espace vectoriel de l’espace tangent à \(A\) en l’origine. Si \(P\) est un polynôme homogène de \(\mathbb{C} [X_ 0,\dots, X_ N]\), on a une notion d’ordre d’annulation de \(P\) le long de \(W\) en un point de \(A\).
Supposons \(P\) de degré \(D\), non identiquement nul sur \(A\) et s’annulant à un ordre \(\geq gT+1\) le long de \(A\) en tout point de \(\Gamma(g):=\{ x_ 1+\dots+ x_ g\); \(x_ i\in\Gamma\}\). Alors le résultat principal de la Note affirme qu’il existe une sous-variété abélienne \(B\) de \(A\), \(B\neq A\) telle que si \(t_ B\) désigne son espace tangent à l’origine on ait \[ {{T+\dim(W/W\cap t_ B)} \choose {\dim(W/W\cap t_ B)}}\cdot\text{card}((\Gamma+ B)/B)\cdot\deg_{\mathbb{P}_ N} B\leq \deg_{\mathbb{P}_ N} A\cdot D^{\dim(A/B)}. \] Ce résultat, très utile pour les méthodes de transcendances, améliore un lemme de zéro du reviewer [Bull. Soc. Math. Fr. 114, 355-383 (1986; Zbl 0617.14001)] et généralise un travail précédent de l’auteur [ Approximations diophantiennes et nombres transcendants, Luminy 1990, 99-104 (1992; Zbl 0773.14001)], correspondant ici au cas \(T=0\).

MSC:
11J81 Transcendence (general theory)
11G10 Abelian varieties of dimension \(> 1\)
14C17 Intersection theory, characteristic classes, intersection multiplicities in algebraic geometry
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