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Regularity in torsion free abelian groups. (Regularität in torsionsfreien abelschen Gruppen.) (German) Zbl 0786.20036
Eine Untergruppe \(B\) einer torsionsfreien abelschen Gruppe \(A\) heißt regulär (kritisch regulär) falls \(t^ B(b) = t^ A(b)\) für alle \(b\in B\) (falls für alle Typen \(t\) gilt: \(B(t) \setminus B^*(t)_ * \subset A(t)\setminus A^*(t)_ *\)). Die Untergruppe \(B\) heißt stark regulär, falls \(B\) eine reguläre und eine kritisch reguläre Untergruppe von \(A\) ist. \(B\) heißt Quasi-Summand von \(A\), falls es eine Untergruppe \({\mathcal D}\subset A\) gibt, so daß der Exponent \(\text{exp}(A/(B\oplus {\mathcal D}))\) endlich ist. Quasi-Summanden torsionsfreier abelscher Gruppen \(A\) sind stark regulär. Insbesondere sind direkte Summanden bzw. Untergruppen von endlichem Exponenten stark regulär. Die Typenuntergruppen \(A(t)\), \(A^*(t)\) und \(A^*(t)_ *\) sind stets stark reguläre Untergruppen in torsionsfreien abelschen Gruppen.
Satz 1. In fast vollständig zerlegbaren Gruppen endlichen Ranges sind die stark regulären Untergruppen genau die Quasi-Summanden. Umgekehrt sind torsionsfreie abelsche Gruppen endlichen Ranges, deren stark reguläre Untergruppen allesamt Quasi-Summand sind, fast vollständig zerlegbar. Korollar 2. In vollständig zerlegbaren Gruppen endlichen Ranges mit linear geordneter Typenmenge sind die regulären Untergruppen genau die Quasi-Summanden. Umgekehrt sind die torsionsfreien abelschen Gruppen endlichen Ranges, deren reine Untergruppen allesamt Quasi- Summanden sind, vollständig zerlegbar mit linear geordneter Typenmenge.

MSC:
20K15 Torsion-free groups, finite rank
20K27 Subgroups of abelian groups
20K25 Direct sums, direct products, etc. for abelian groups
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: EuDML
References:
[1] D. M. Arnold: Pure subgroups of finite rank completely decomposable groups. Lecture Notes in Mathematics 874 (1981), 1-31. · Zbl 0466.20030
[2] L. Fuchs: Infinite Abelian Groups I+II. Academic Press, 1970, 1973. · Zbl 0209.05503
[3] O. Mutzbauer: Type invariants of torsion-free abelian groups. Abelian Group Theory, Proceedings, Perth vol. 87, 1989, pp. 133-154. · Zbl 0677.20042
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