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Isoperimetric stability. (Stabilité isopérimétrique.) (French) Zbl 0786.52004

Sémin. Théor. Spectrale Géom., Chambéry-Grenoble 10, Année 1991-1992, 13-18 (1992).
Von B. Fuglede [Trans. Am. Math. Soc. 314, 619-638 (1989; Zbl 0679.52007)] stammt die folgende isoperimetrische Stabilitätsabschätzung: Es sei \(D_ 0\) eine Kugel um den Ursprung 0 im euklidischen Raum \(\mathbb{R}^{n+1}\) vom Volumen \(v>0\). Dann existiert eine \(C^ 1\)-Umgebung \(V\) von \(D_ 0\) aus bezüglich 0 sternförmigen, kompakten und \(C^ 1\)-glatten Körpern \(D\) vom Volumen \(v\), für welche die Ungleichung \(d^ 2_{H^ 1}(D,D_ 0) \leq C(\text{vol}_ n(\partial D)-\text{vol}_ n(\partial D_ 0))\) gilt \((C=\) geeignete Konstante \(>0\), \(d_{H^ 1}(D,D_ 0)=\) Sobolev-Norm der Differenz der Radialfunktionen von \(D\) und \(D_ 0)\). Verf. verallgemeinert dieses Resultat auf vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeiten, wobei an die Stelle der Kugel \(D_ 0\) ein Körper vom Volumen \(v\) tritt, für welchen das durch \(D \mapsto \text{vol}_ n (\partial D)\) gegebene Funktional kritisch und in geeigneter Weise “infinitesimal strikt stabil” ist.

MSC:

52A30 Variants of convex sets (star-shaped, (\(m, n\))-convex, etc.)
53C20 Global Riemannian geometry, including pinching
52A38 Length, area, volume and convex sets (aspects of convex geometry)
49Q20 Variational problems in a geometric measure-theoretic setting
52A40 Inequalities and extremum problems involving convexity in convex geometry

Citations:

Zbl 0679.52007
Full Text: EuDML