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The ramified linear Cauchy problem for given data with algebraic singularities. (Le problème de Cauchy ramifié linéaire pour des données à singularités algébriques.) (French) Zbl 0789.35009
The author deals with the local theory of the linear Cauchy problem $a(x,D_ x)u(x)= v(x), \qquad D_{x_ 0}^ s u(x)\Bigl|_{x=x_ 0}= u_ s(x')$ ($$0\leq s<m$$, $$x=(x_ 0,\dots,x_ n)$$, $$x'=(x_ 1,\dots,x_ n)$$) of order $$m$$ with simple characteristics in the complex domain when the Cauchy data $$u_ s$$ given on the non-characteristic hypersurface $$x_ 0=0$$ are algebraic and ramified around a swallowtail $$T$$ (i.e., around a certain hypersurface $$D=0$$ where $$D=D(x_ 1,\dots, x_ k)$$ is the discriminant of the equation $$z^{k+1}- x_ k z^{k-1}- \dots- x_ 2z- x_ 1=0$$ for appropriate $$k=1,\dots,n$$).
Two results are thoroughly proved: the existence of $$m$$ characteristic swallowtails in the total space stemming from $$T$$, and especially the existence of a unique solution of the kind $$u(x)=\displaystyle {\sum_{j=1}^ m \sum_{\ell=0}^ k} R_{j,\ell} (x,D_ x)(z^ \ell (G_ j(x))$$ which is a sum of $$m$$ functions each of them being ramified around one of the characteristic swallowtails. The right hand side $$v(x)$$ may be ramified, too, and the solution is calculated by an effective algorithm uniform in a certain sense in the given data.
Reviewer: J.Chrastina (Brno)

##### MSC:
 35A20 Analyticity in context of PDEs 35C10 Series solutions to PDEs
Full Text:
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