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Drawing curves over number fields. (English) Zbl 0790.14026
The Grothendieck Festschrift, Collect. Artic. in Honor of the 60th Birthday of A. Grothendieck. Vol. III, Prog. Math. 88, 199-227 (1990).
[For the entire collection see Zbl 0717.00010.]
Cet article trouve son inspiration dans un texte de A. Grothendieck [Sém. Géométrie Algébrique 1966/67, SGA6, Lect. Notes Math. 225, 1-19 (1971; Zbl 0222.14002)]. Il s’agit d’étudier les courbes algébriques complexes par des définitions provenant de théories d’aspect très différents. Ainsi on peut pour les décrire:
(1) écrire une équation,
(2) former le quotient du demi-plan de Poincaré par un groupe Fuchsien,
(3) donner un point de l’espace modulaire,
(4) donner une métrique,
(5) définir la jacobienne.
Si la courbe \((C)\) peut être définie sur un corps de nombres, un théorème de Belyi affirme qu’il existe une fonction \(f\) avec seulement 3 points critiques. On a une correspondance entre couples \((C,f)\) et “dessins d’enfants”. Un tel dessin est défini par un plongement convenable d’un 1-complexe connexe dans une surface compacte, connexe et orientée. Pour un dessin \((D)\) on peut étudier les 5 descriptions ci-dessus de la courbe \(X_ D\): ce texte est une exposition générale de cette jolie théorie depuis en rapide extension (voir par exemples les minutes du colloque de Luminy (1992)). Le texte est agrémenté de nombreux exemples explicitement décrits et est devenu une référence principale du sujet.

MSC:
14H25 Arithmetic ground fields for curves
14G25 Global ground fields in algebraic geometry
Biographic References:
Grothendieck, Alexander