The parametrisation of the Teichmüller space by geodesic length functions. (Die Parametrisierung des Teichmüllerraumes durch geodätische Längenfunktionen.) (German) Zbl 0790.30036

Schmutz, Paul

Comment. Math. Helv. 68, No. 2, 278-288 (1993).

Sei \(T_ g\) der Teichmüllerraum der markierten geschlossenen Riemannschen Flächen vom Geschlecht \(g \geq 2\), versehen mit der Metrik der konstanten Krümmung \(-1\). \(T_ g\) is homöomorph zum \(\mathbb{R}^{6g-6}\) und kann durch eine Anzahl geodätischer Längenfunktionen global parametrisiert werden. Bis jetzt war nur bekannt, daß diese Anzahl echt größer \(6g-6\) und \(\leq 6g-4\) ist. Der Autor beweist in diesem Artikel, daß \(6g-5\) geodätische Längenfunktionen ausreichen, also die optimale Lösung des Problems.
Zum Beweis dieses schönen Ergebnisses wird ein Spezialfall einer entsprechenden Aussage für berandete Riemannsche Flächen benutzt. Sei \(T_{g, n}\) der Teichmüllerraum der markierten Riemannschen Flächen vom Geschlecht \(g\) und mit \(n \geq 1\) disjunkten Randkomponenten, welche einfach geschlossene Geodätische sind. Der \(T_{g,n}\) is homöomorph zum \(\mathbb{R}^{6g-6+3n}\). Hier gilt nun, daß der \(T_{g,n}\) für \(2g+n \geq 3\) durch \(6g-6+3n\) geodätische Längenfunktionen global parametrisiert werden kann. Das Resultat wurde erstmals von T. Sorvali [Ann. Acad. Sci. Fenn., Ser. A I 572, 1-6 (1974; Zbl 0289.30025)] bewiesen. Der Autor beweist es hier erneut mit wesentlich verschiedenen Methoden.

Reviewer: S.Timmann (Hannover)

MSC:

30F60	Teichmüller theory for Riemann surfaces
53C22	Geodesics in global differential geometry

Keywords:

geodesic length functions

Citations:

Zbl 0289.30025