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\(p\)-adic periods of abelian varieties. (Périodes \(p\)-adiques des variétés abéliennes.) (French) Zbl 0793.14033
Le but de cet article est de donner une construction des périodes \(p\)- adiques des variétés abéliennes qui soit la plus proche possible de la construction classique dans le cas complexe. Plus précisément, soit \(X\) une variété abélienne définie sur une extension finie \(K\) de \(\mathbb{Q}_ p\), et \({\mathfrak X}\) un modèle de \(X\) sur les entiers de \(K\). Soit \(\mathbb{B}^ +_{DR}\) l’anneau construit par J.-M. Fontaine [Ann. Math., II. Ser. 115, 529-577 (1982; Zbl 0544.14016)] et \(\theta\) le morphisme canonique de \(\mathbb{B}^ +_{DR}\) dans \(\mathbb{C}_ p\). On peut trouver un sous-anneau \(A\) de \(\mathbb{B}^ +_{DR}\) tel que pour tout \(k \in \mathbb{N}\), l’image de \(A \cap (\text{Ker} \theta)^ k\) dans \((\text{Ker} \theta)^ k/(\text{Ker} \theta)^{k+1}\) soit bornée et tel que l’application \(\theta\) de \({\mathfrak X} (A)\) dans \(X(\mathbb{C}_ p)\) soit surjective. Si \(\omega\) est une forme différentielle de seconde espèce sur \(X\), on peut, utilisant la loi de groupe sur \(X\), construire une primitive \(F_ \omega\) de \(\omega\) bien définie à addition d’une constante près. Si \(u=(0,\dots,u_ n,\dots)\) est un élément du module de Tate \(T_ p(X)\) de \(X\), module jouant le rôle de \(H_ 1(X (\mathbb{C}),\mathbb{Z})\), on définit alors \(\int_ u \omega\) par la formule \[ \int_ u \omega=\lim_{n \to \infty} p^ n \biggl( F_ \omega (a_ n)-F_ \omega (a_ n \bigoplus \widehat u_ n) \biggr), \] où \(\bigoplus\) désigne la loi de groupe sur \(X\), \(\widehat u_ n \in {\mathfrak X} (A)\) vérifie \(\theta (\widehat u_ n)=u_ n\) et \(a_ n\in {\mathfrak X} (A)\) est choisi de telle sorte que ni \(a_ n\) ni \(a_ n \bigoplus \widehat u_ n\) ne soient proches d’un pôle de \(\omega\).
Le plan de l’article est le suivant. Dans le paragraphe 1, on rappelle la théorie complexe sans démonstration. On en profite pour définir par voie transcendante un certain nombre d’objets algébriques. – Le paragraphe 2 est consacré à la définition d’un certain nombre de sous-anneaux de \(\mathbb{B}^ +_{DR}\) qui interviendront par la suite. – Dans le paragraphe 3, pour donner un avant-goût des méthodes (sans les complications d’ordre technique) et de résultats dans le cas des variétés abéliennes, nous donnons la construction des périodes \(p\)-adiques des groupes formels. – Dans le paragraphe 4, nous donnons la construction de \(F_ \omega\) et des fonctions thétas \(p\)-adiques (où plutôt de leur logarithme) et dans le paragraphe 5, nous commençons par montrer l’existence d’un sous-anneau \(A\) de \(\mathbb{B}^ +_{DR}\) ayant les propriétés annoncées au début et nous donnons la construction des périodes des variétés abéliennes. – Le reste de l’article est consacré à divers compléments: comparaison avec les périodes de Hodge-Tate, raffinements dans le cas de bonne réduction.

MSC:
14K20 Analytic theory of abelian varieties; abelian integrals and differentials
14G20 Local ground fields in algebraic geometry
32G20 Period matrices, variation of Hodge structure; degenerations
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Full Text: DOI EuDML
References:
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