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About the growth of entire functions solutions of linear algebraic \(q\)- difference equations. (English) Zbl 0796.39005
Georges Valiron (1926) a démontré qu’une fonction entière solution d’une équation différentielle linéaire à coefficients polynômiaux a une croissance exponentielle d’ordre exact fini (que l’on peut déterminer à partir du polygone de Newton de l’équation différentielle). L’auteur en a donné une autre preuve [Mem. Am. Math. Soc. 296, 1-95 (1984; Zbl 0555.47020)]. Ici, il prouve un \(q\)-analogue de ce résultat:
Soient \(q \in \mathbb{C}^ \times\), vérifiant \(| q | \neq 1\). \(q_ 0 = \max (| q |,1/ | q |)\), et \(f\) une fonction entière solution d’une équation linéaire aux \(q\)-différence à coefficients polynômiaux \(a_ m f(q^ mz) + \cdots + a_ 0f(z) = b\) \((a_ i,b \in \mathbb{C} [z])\), alors \(f\) est un polynôme ou a une croissance \(q\)-exponentielle d’ordre exact \(1/k\), i.e. il existe \(K\) et \(\alpha>0\) tels que, pour \(| z | \geq 1\), on ait \[ \bigl | f(z) \bigr |<Kq_ 0^{{k \over 2} \left( {\log | z | \over \log | q_ 0 |} \right)^ 2} | z |^ \alpha, \] où \(k\) ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs déterminées par le polygone de Newton de l’équation fonctionnelle.
Une fois défini le polygone de Newton, la démonstration est analogue à celle de l’auteur dans le case différentiel, grâce à des théorèmes d’indices pour des espaces de fonctions \(q\)-Gevrey déduits par dualité de ceux de J.-P. Bézivin [Aequationes Math. 43, No. 2/3, 159-176 (1992; Zbl 0757.39002)].
L’auteur étudie comme exemples des \(q\)-analogues de l’exponentielle et des fonctions \(\theta\) de Jacobi. Il obtient aussi comme corollaire le fait que toute fonction entière solution d’une équation différentielle linéaire et d’une équation aux \(q\)-différences à coefficients polynômiaux est un polynôme, et un résultat du même type pour les séries formelles. Pour des résultats de ce style, on pourra consulter les articles de J.-P. Bézivin et A. Boutabaa [Sur les équations fonctionnelles \(p\)-adiques aux \(q\)- différences, Collect. Math. 44, No. 1, 1-16 (1993; Zbl 0778.39009)] et J.-P. Bézivin et F. Gramain [Ann. Inst. Fourier, 43, No. 3, 791-814 (1993; Zbl 0796.39006)].

MSC:
39A10 Additive difference equations
30D15 Special classes of entire functions of one complex variable and growth estimates
30D05 Functional equations in the complex plane, iteration and composition of analytic functions of one complex variable
39B32 Functional equations for complex functions
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Numdam EuDML
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