The Atiyah-Patodi-Singer index theorem. (English) Zbl 0796.58050

Melrose, Richard B.

Research Notes in Mathematics 4. Wellesley, MA: A. K. Peters, Ltd. (ISBN 1-56881-002-4/hbk). xiv, 377 p. (1993).

Das Atiyah-Patodi-Singer Theorem berechnet den Index eines Dirac- Operators einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit \(X\) mit Rand. Dieser Index ist durch das \(\widehat A\)-Geschlecht von \(X\) und der spektralen Asymmetrie des Dirac-Operators auf dem Rand \(\partial X\) gegeben. Rein analytische Beweise sind mit Methoden der Wärmeleitungskerne seit den 70-iger Jahren bekannt, und im Fall \(\partial X = \emptyset\) bewiesen Patodi, Gilkey und Getzler (1986) diese Formeln auch lokal. Seither gibt es viele Arbeiten, in denen die Index- und Spektraltheorie elliptischer Operatoren einerseits auf gewisse Klassen offener Mannigfaltigkeiten und andererseits auf kompakte singuläre “Mannigfaltigkeiten” übertragen wird. Das Ziel des vorliegenden Buches besteht darin, die hierfür benötigte Analysis im Fall einer kompakten Mannigfaltigkeit mit Ecken und Kanten bereitzustellen und die eingangs skizzierte Theorie in dieser Kategorie zu entwickeln. Dabei betrachtet der Autor kompakte Mannigfaltigkeiten \(X\) mit Rand, auf deren Inneren \(\text{Int} (X)\) eine vollständige Riemannsche Metrik \(g\) mit \(g=(dx^ 2/x)+h\) nahe des Randes \(\partial X\) vorliegt \((b\)-Metriken). Für diese Klasse von Räumen werden nun die Differentialgeometrie, die Theorie der charakteristischen Klassen, die Hodge-Theorie und die Dirac-Operatoren behandelt. Weil die Kerne \(K(x,y)\) der zu betrachtenden Operatoren auf \(X \times X\) definiert sind, wird im Kapitel 4 ein spezielles Produkt \(X^ 2_ b\to X^ 2\) mittels einer Aufblasung konstruiert. Dies beruht im wesentlichen auf der Beobachtung, daß der Grenzwert \((x-x')/(x+x')\) entlang jeder positiven Geraden \(l \subset R^ 2\) existiert.
Nach diesen geometrischen Vorbereitungen entwickelt der Autor in den Kapiteln 5, 6 und 7 des Buches den vollen Kalkül der Pseudo- Differentialoperatoren, der relativen Indextheoreme sowie der Wärmeleitungskerne in der Kategorie der \(b\)-Metriken. Die abschließenden beiden Kapitel beinhalten einerseits den Beweis des lokalen Indexsatzes nach der Getzler-Methode sowie Anwendungen des APS- Theorems (Euler Charakteristik, Signatur-Theorem, Analytische Torsion).
Das Buch ist sehr sorgfältig geschrieben, in sich selbst verständlich und jedem Mathematiker, der sich für die Analysis auf Räumen mit Singularitäten interessiert, sehr zu empfehlen.

Reviewer: Th.Friedrich (Berlin)

MSC:

58J20	Index theory and related fixed-point theorems on manifolds
58J35	Heat and other parabolic equation methods for PDEs on manifolds
58J40	Pseudodifferential and Fourier integral operators on manifolds

Keywords:

pseudo-differential operators; heat equation methods; characteristic classes; \(\hat A\)-genus; Hodge theory; manifold with corners; index of Dirac operator; Riemannian manifold with boundary