Algebraic independence of periods and quasi-periods of a Drinfeld module. (Indépendance algébrique des périodes et quasi-périodes d’un module de Drinfeld.) (French) Zbl 0798.11021

Thiery, Alain

Goss, David (ed.) et al., The arithmetic of function fields. Proceedings of the workshop at the Ohio State University, June 17-26, 1991, Columbus, Ohio (USA). Berlin: Walter de Gruyter. Ohio State Univ. Math. Res. Inst. Publ. 2, 265-284 (1992).

Soient \(q\) une puissance d’un nombre premier, \(A = \mathbb{F}_ q [T]\), \(k = \mathbb{F}_ q (T)\), \(k_ \infty = \mathbb{F}_ q (({1 \over T}))\), \(\tau:x \mapsto x^ q\) le Frobenius et \(\Phi : A \to k \{\tau\}\) un module de Drinfeld de rang 2. Si on note \(\Lambda\) le réseau de \(\overline k_ \infty\) (clôture algébrique de \(k_ \infty)\) associé à \(\Phi\), on sait que \(\Lambda = \ker e_ \Lambda\) où \(e_ \Lambda\) est l’exponentielle associée à \(\Phi\). Soit \(\eta : A \to k \{ \tau\} \circ \tau\) une dérivation et \(F_ \eta\) l’unique fonction entière satisfaisant \(F_ \eta (az) - aF_ \eta (z) = \eta_ \alpha \circ e_ \Lambda (z)\) pour \(a \in A\) et \(z \in \overline k_ \infty\).
Dans ces conditions, l’auteur montre que si \(\lambda, \omega \in \Lambda \backslash \{0\}\) sont tels que \(F_ \eta (\omega) - {F_ \eta (\lambda) \over \lambda} \omega \neq 0\) alors ce nombre est algébriquement indépendant de \(F_ \eta (\lambda)/ \lambda\) sur \(k\). Ce résultat est l’analogue pour les modules de Drinfeld d’un énoncé célèbre de G. V. Chudnovsky (où les fonctions \(e_ \Lambda\), \(F_ \eta\) sont remplacées par des fonctions de Weierstrass \(\wp\) et \(\zeta\) d’invariants algébriques). Une conséquence remarquable est la transcendance sur \(k\) des nombres \(\overline \Gamma (1 + {1 \over 1 - q^ 2})\) et \(\overline \Gamma (1 + {q \over 1-q^ 2})\) où \(\overline \Gamma\) est l’analogue de la fonction Gamma, défini par D. Thakur (cet énoncé est parallèle à la transcendance de \(\Gamma (1/3)\) et \(\Gamma (1/4)\) établie par G. V. Chudnovsky).
For the entire collection see [Zbl 0771.00031].

Reviewer: P.Philippon (Paris)

MSC:

11G09	Drinfel’d modules; higher-dimensional motives, etc.
11J85	Algebraic independence; Gel’fond’s method
14G15	Finite ground fields in algebraic geometry
11T55	Arithmetic theory of polynomial rings over finite fields

Keywords:

algebraic independence; periods; quasi-periods; Drinfeld module; gamma function