×

zbMATH — the first resource for mathematics

On the series expansions of functions of a single variable. (Sur les développements en série des fonctions d’une seule variable.) (French) JFM 08.0124.03
Das geradlinige Integral \[ \int_{a}^{x} f(x) \cdot \varphi (x) \cdot dx, \] worin die Grenzen als reell, \(f(x)\) als durchaus positiv und \(\varphi(x)\) als beliebige complexe Function von \(x\) vorausgesetzt werden, überschreitet seinem absoluten Betrage nach die Grenze \[ g \int_{a}^{x} f(x) dx \] nicht, wenn \(g\) die obere Grenze des absoluten Betrages von \(\varphi(x)\) bedeutet. Man kann also setzen \[ (1) \quad \int_{a}^{x} f(x)\varphi (x) dx = \lambda \varphi (x_1) \cdot \int_{a}^{x} f(x) dx, \] unter \(x_{1}\) einen Werth zwischen \(a\) und \(x\), unter \(\lambda\) eine Zahl, deren absoluter Betrag die Einheit nicht überschreitet, verstanden. Für reelle Functionen kann man \(\lambda = 1\) setzen. Uebrigens erscheint diese Formel auch als Corollar eines allgemeinen Satzes des Herrn Weierstrass über den Quotienten \[ \int_{a}^{x} f .\varphi . dx: \int_{a}^{x} f.dx. \] Die Function von \(t\) \[ \begin{split} \varPsi (t) = \varphi^{n}(t) f (x + ht) - h \varphi^{n-1} (t) f'(x + ht)\\ + h^2 \varphi^{n-2} (t) f'' (x + ht) - \cdots + (-1)^{n} h^{n} \varphi \;(t) f^{n}(x+ht),\end{split} \] hat, wenn \(\varphi (t)\) eine ganze Function \(n^{\text{ten}}\) Grades von \(t\) bezeichnet, den Differentialquotienten \[ \varPsi' (t) = (-1)^{n} h^{n+1} \varphi (t) f^{n+1} (x+ht), \] woraus durch Integration zwischen den Grenzen 0 und 1 folgt \[ \varphi^{n} (0)\left\{ f(x+h) - f(x)\right\} \] \[ (2)\quad \begin{cases} = h \left\{ \varphi^{n-1} (1) f'(x + h) - \varphi^{n-1}(0) f'(x)\right\}\\ -h^{2} \left\{ \varphi^{n-2} (1) f''(x+h) - \varphi^{n-2} (0) f''(x)\right\} + \cdots \\ + \;(-1)^{n-1} h^{n} \left\{ \varphi \;(1) f^{n} (x+h) - \varphi \;(0) f^{n}(x) \right\} + R_{n} \end{cases} \] \[ R_{n} = (-1)^{n} h^{n+1} \int_0^1 \varphi \;(t) . f^{n+1} (x+ht).dt. \] Durch verschiedene Annahmen über das Polynom \(\varphi \;(t)\) erhält man die meisten der bekannten Reihenentwickelungen und andere neue, mit Ausdrücken des Restes, welche durch die Formel (1) sich auch auf den Fall complexer Veränderlicher anwenden lassen. Ausser der Annahme \[ n! \varphi (t) = (t - 1)^{n}, \] welche auf die Taylor’sche Reihe zurückführt, werden noch die folgenden betrachtet: \[ (1) \quad \varphi \;(t) = t^{n} (1 - t)^{n}; \] \[ (2) \quad \varphi \;(t) = \frac{1}{n!} \left( t + \frac{r}{1-r} \right)^{n}. \] 3) Die Voraussetzung \(\varphi \;(t) =\) der \(n^{\text{ten}}\) Bernoulli’schen Function \[ \varphi_{n}(t) \equiv t^{n} - \frac{n}{2} t^{n-1} + {n\choose 2} B_{1} t^{n-2} - {n\choose 4} B_{3} t^{n-4} + \cdots, \] führt auf die Formel Mac-Laurin’s \[ hf'(x) = f\;(x + h) - f\;(x) - \frac{h}{2} \left\{ f'(x+h) - f'(x)\right\} \] \[ + \frac{B_{1} h^{2}}{1.2} \left\{ f'' (x+h) - f''(x) \right\} - \cdots \] \[ + \;(-1)^{n} \frac{B_{2n - 3} h^{2n - 2}}{(2n - 2)!} \left\{ f^{2n - 2} (x + h) - f^{2n - 2} (x) \right\} \] \[ + \frac{(-1)^{n+1} \lambda B_{2n - 1} h^{2n + 1}}{(2n)!} \; f^{n+1} (x + \theta h) \; (0 \overset {=} < \theta \leqq 1), \] welche im Falle einer ungraden Function \(f(x) \; (h=-2x\;\text{gesetzt})\) zu Mac-Laurin’schen Reihenentwickelungen benutzt werden kann.
4) Nimmt man \[ \varphi \;(t) = \frac{2^{n+1}}{n+1} \left\{ \varphi_{n+1} \left( \frac{t+1}{2} \right) - \varphi_{n+1} \left( \frac{t}{2} \right) \right\}, \] so ist \[ \varphi^{n-r} (0) = \varphi^{n-r} (1) \] und man erhält eine von Boole herrührende Formel.
5) \(\varphi \;(t)\) genügt der Functionalgleichung \[ \varphi \;(t+1) - r\varphi \;(t) = \frac{(1-r)\;x^{n}}{n!} \quad (0<r<1). \] Es giebt nur eine einzige solche Function \(n^{\text{ten}}\) Grades, mittelst welcher sich die endliche Reihe \[ p^{n} + r \;(p-1)^{n-1} + r^2 (p-2)^{n} + \cdots + r^{p - 1} . 1^{n} \] summiren lässt.
6) Soll überhaupt in der Formel (2) der Grenzübergang \( n = + \infty\) möglich sein, so müssen die Ableitungen der Polynome \(\varphi \;(t)\) von demselben Grade sowohl für \(t=0\), als auch für \(t=1\) gleiche Resultate liefern. Dies ist sicher erfüllt, wenn jedes dieser Polynome die Ableitung es folgenden ist, z. B. bei der 2., 4. und 5. Annahme von \(\varphi \;(t)\). Der Verfasser setzt ausserdem für \(\varphi \;(t)\) ein Polynom von angegebener Beschaffenheit, welches ein specieller Fall der hypergeometrischen Reihe ist.

MSC:
26A06 One-variable calculus
26A24 Differentiation (real functions of one variable): general theory, generalized derivatives, mean value theorems
65B15 Euler-Maclaurin formula in numerical analysis
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: Gallica EuDML