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Conditions d’intégrabilité des équations simultanées aux dérivées partielles du premier ordre et renfermant un nombre quelconque de variables indépendantes. (French) JFM 08.0202.02
Die vorliegende Abhandlung, deren Resultate bereits 1873 vom Verfasser in den C. R. angezeigt wurden (vergl. F. d.M. V. p. 210, JFM 05.0210.01), beschäftigt sich mit der Aufgabe:
Gegeben sind \(m\) von einander unabhängige Functionen \(f_{1}, f_{2}, \ldots f_{m}\) der \(2n\) Variabeln \(q_{1}, \ldots q_{n}, p_{1}, \ldots p_{n}\). Man soll alle Relationen finden, die, unabhängig von der besonderen Form der gegebenen Functionen, zwischen diesen und denjenigen Functionen bestehen, die aus ihnen durch fortgesetzte Anwendung der Operation: \[ (f_{i} f_{k}) = \sum_{h = 1}^{h = n} \left( \frac{\partial f_{i}}{\partial q_{h}} \frac{\partial f_{k}}{\partial p_{h}} - \frac{\partial f_{i}}{\partial p_{h}} \frac{\partial f_{k}}{\partial q_{h}} \right) \] entspringen.
Diese Aufgabe bietet sich dar bei der Frage: Wann besitzen die \(m\) partiellen Differentialgleichungen \[ f_1 = 0, \ldots \;f_{m} = 0, \quad \left( p_{h} = \frac{\partial V}{\partial q_{h}} \right) \] gemeinsame Lösungen? Damit nämlich solche gemeinsame Lösungen existiren, ist es nothwendig (wenn auch im Allgemeinen nicht, wie der Verfasser meint, zugleich hinreichend), dass die Gesammtzahl der unabhängigen Gleichungen \[ f_{1} = 0, \ldots \; f_{m}= 0, \; f_{m + 1} = 0, \ldots \] die sich auf die angegebene Art aus den gegebenen Gleichungen bilden lassen, \(\leqq n\) sei.
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Full Text: Numdam EuDML