×

zbMATH — the first resource for mathematics

On the second degree transformation of the hyperelliptic functions of the order one. (Zur Transformation zweiten Grades der hyperelliptischen Functionen erster Ordnung.) (German) JFM 08.0285.01
Herr L. Königsberger hat [J. Reine Angew. Math. 67, 58–77 (1867; ERAM 067.1736cj)] die Theorie der Transformation zweiten Grades für die Abelschen Transcendenten erster Ordnung in ihrer Allgemeinheit entwickelt, indem er die Ausdrücke der transformirten \(\vartheta\)-Functionen, also auch die algebraischen Beziehungen zwischen den Grenzen der Abel’schen Integrale in der einfachsten Gestalt herstellte und sodann die transformirten Integralmoduln als Functionen der ursprünglichen ausgedrückt erhielt. Es ergaben sich zwei Hauptgattungen von Transformationen, für welche sich das transformirte \(\vartheta\) entweder als Summe von 4 mit Constanten multiplicirten Thetaquadraten des ursprünglichen Systems, oder durch eine Summe von zwei Thetaproducten darstellen liess. Diese Theorie wandte Herr Königsberger auf die Untersuchung der Abelschen Integrale erster Ordnung an, die durch eine Transformation zweiten Grades auf elliptische reducirbar sind. Es ergab sich das Resultat, dass das Jacobi’sche Integral \[ (A) \quad \int \frac{dx}{\sqrt{x \; (1 - x)\; (1 - k^2 x) \; (1 - \lambda^{2}x) \; (1 - k^2 \lambda^{2}x)}} \] sowie die aus diesem durch lineare Transformation hervorgehenden Integrale die einzigen Abel’schen Integrale erster Ordnung sind, die sich durch eine Transformation zweiten Grades auf elliptische reduciren lassen.
In vorliegender Arbeit betrachtet Herr Pringsheim die aus der ersten der obigen Hauptgattungen von Transformationen hervorgehenden Gleichungen \[ e^{f(v_1 v_2)\pi i} \vartheta_{\lambda}(v_{1}',v_{2}') = (\alpha) \;\vartheta_{\alpha}^{2} (v_1, v_2) + (\beta)\; \vartheta_{\beta}^{2} (v_1, v_2) +\; (\gamma)\; \vartheta_{\gamma}^{2}(v_1, v_2)+ (\delta) \; \vartheta_{\delta}^{2} (v_1, v_2) \] eingehender und gelangt zu dem für alle Transformationen zweiten Grades gültigen Satze, “dass sich bei jeder Transformation zweiten Grades für die hyperelliptischen Functionen erster Ordnung aus dem Ausdrucke für eine transformirte Thetafunction 3, und immer nur 3, weitere transformirte Thetafunctionen durch Substitution von halben Perioden ableiten lassen”. Dieser Satz gilt auch für Transformationen von beliebigem paaren Grade, wenn nur diejenigen Transformationen ausgeschlossen werden, bei denen alle Transformationszahlen durch 2 oder eine Potenz von 2 theilbar sind.
Im Folgenden leitet der Herr Verfasser aus der obigen Form der Transformations-Gleichungen eine Reihe von linearen homogenen Relationen zwischen gewissen Combinationen von vier Thetaquadraten her. Diese Relationen, deren es im Ganzen 96 giebt, sind den von Rosenhain (Mémoire sur les fonctions de deux variables et à quatre périodes, p. 425) erwähnten äquivalent.
Endlich kehrt Herr Pringsheim zur Transformation zweiten Grades zurück, und zwar betrachtet er den speciellen Fall, in welchem die transformirte hyperelliptische Thetafunction sich als ein Product zweier elliptischer \(\vartheta\)-Functionen ergiebt, so dass also: \[ \vartheta_{\lambda} (v', v'_{2}, \tau'_{11}, \tau'_{12}, \tau'_{22}) = \vartheta_{\lambda_{1}} (v'_{1}, \tau'_{11}). \vartheta_{\lambda_{2}}(v'_{2} \tau'_{22}). \] Dieser Fall liefert demnach die von Jacobi (Crelle J. VIII.) auf rein algebraischem Wege hergestellte Reduction gewisser hyperelliptischer Integrale auf elliptische. Hier wird die Reduction einer Summe von zwei hyperelliptischen Integralen von der Form \((A)\) in den Grenzen resp. \(0\ldots x_1, \; 1\ldots x_2\), auf je eine Summe von zwei elliptischen Integralen von der Form \[ A \int_0^{y_1}\frac{dy}{\sqrt{(1-y^2) \; (1 - c^2 y^2)}} + B \int_0^y \frac{dy}{\sqrt{(1 - y^2)\; (1 - l^2 y^2)}} \] bewirkt. Der Jacobi’sche Fall geht aus diesem hervor, wenn man \(x_2 = 1\) setzt.

MSC:
14K20 Analytic theory of abelian varieties; abelian integrals and differentials
14K25 Theta functions and abelian varieties
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Link EuDML