×

Theory of abelian functions of genus 3. (Theorie der Abel’schen Functionen vom Geschlecht 3.) (German) JFM 08.0293.01

Preisschrift. Berlin. G. Reimer. \(4^{\circ}\) (1876).
Will man in derselben Weise in die Theorie der allgemeinen Abel’schen Functionen eindringen, wie es von Göpel und Rosenhain für die hyperelliptischen Functionen geschehen ist, so bildet die naturgemässe Grundlage dazu die Theorie der sechsfach periodischen Functionen und der \(\vartheta\)-Functionen dreier Variabeln. Diese dient denn auch dem Herrn Verfasser als Ausgangspunkt für seine Theorie der Abel’schen Functionen vom Geschlecht 3. Nachdem der Begriff der periodischen Functionen von 3 Variabeln festgestellt und der Begriff eines Systems zusammangehöriger Perioden entwickelt ist, wird die Aufgabe gelöst, solche Functionen von 3 Variabeln zu suchen, die 6 von einander unabhängige Periodensysteme haben. Diese 6 Periodensysteme lassen sich auf folgende reduciren: \[ \begin{matrix}\;& \;& \;& \l\\ \text{für} & \text{die} & \text{Variable} & v_1 : \pi i, 0, 0, a_{11}, a_{12}, a_{13},\\ \\ " & " & " & v_2 : 0, \pi i, 0, a_{21}, a_{22}, a_{23},\\ \\ " & " & " & v_3: 0, 0, \pi i, a_{31}, a_{32}, a_{33}.\end{matrix} \] Da nun die darzustellende Function nicht für alle endlichen Werthe des Argumentes endlich und stetig sein kann, so hat sie die Bruchform \[ F(v_1, v_2, v_3) = \frac{\varPhi (v_1, v_2, v_3)}{\varPhi_{1} (v_1, v_2, v_3)}. \] Eine weitere Untersuchung der beiden Functionen \(\varPhi\) ergiebt die Form: \[ (5) \quad \varPhi = \varTheta (w_1, w_2, w_3) = \sum_{h_1, h_2, h_3} B_{h_1, h_2 h_3} \cdot e^{2(h_1 w_1 + h_2 w_2 + h_3 w_3)} \] und , wenn \[ k_{1}^{(h)} a_{1i} + k_{2}^{(h)} a_{2i} + k_{3}^{(h)} a_{3i} = -\delta b_{hi} \quad (i = 1,2,3; \; h=1,2,3), \]
\[ (6) \quad \varTheta (w_1 + b_{1i}, \; w_2 + b_{2i}, w_{3} + b_{3i}) = C_{i} e^{-2 \delta w_{i}}. \varTheta (w_{1}, w_2, w_3). \] Durch die Bedingungen (5) und (6) werden sog. “Thetafunctionen der Ordnung \(\delta\)” definirt; die Quotienten zweier dieser Thetafunctionen werden “sechsfach periodische Functionen der Ordnung \(\delta\)” genannt. Es folgt die definitive Darstellung dieser Functionen, indem die Constanten \(B\) bestimmt werden. Alle \(\vartheta\)-Functionen von der Ordnung \(\delta\) sind linear durch \(\delta^{3}\) unter ihnen ausdrückbar, und die allgemeinste Function dieser Art enthält \(\delta^{3}\) willkürliche Constanten linear und homogen. Eine sechsfach periodische Function erster Ordnung giebt es nicht. Alle \(\vartheta\)-Functionen sind nun durch die eine \[ \vartheta (w_1, w_2, w_3; b) = \sum_{n_1, n_2, n_3} e^{\sum_{i} \sum_{k} b_{ik} n_{i} n_{k} + 2 \sum_{i} n_{i} w_{i}} \] in der Weise ausdrückbar, dass \[ \varTheta \left( \begin{matrix} w_{1}, w_{2}, w_{3}\\ \nu_{1}, \nu_{2}, \nu_{3} \end{matrix} \right) = e^{2\sum_{i} \nu_{i}w_{i}} \cdot \vartheta \; (u_1, u_2, u_3; \delta b). \] Diese Darstellung erfährt ihren Abschluss durch die Untersuchung der Convergenzbedingung.
Da die einfachsten der sechsfach periodischen Functionen die von der zweiten Ordnung sind, so wird zunächst im folgenden Paragraphen die Bedingung dafür aufgestellt, dass die Function \[ \Psi (u_1, u_2, u_3) = Ce^{2(g_1 u_1 + g_2 u_2 + g_3 u_3)} . \vartheta^{2} (u_1 + f_1, \; u_2 + f_2, \; u_3 + f_3) \] eine \(\vartheta\)-Function zweiter Ordnung ist. Die Quadratwurzeln aus diesen Functionen sind Functionen, die mit der Function \(\vartheta\) nahe verwandt sind, und welche deshalb folgendermassen bezeichnet werden; \[ \begin{split} (1) \quad \vartheta \left\{ \begin{matrix} g_{1} g_2 g_3\\ h_1 h_2 h_3 \end{matrix} \right\} (u_1 u_2 u_3)\\ = e^{\tfrac 14 \sum_{i} \sum_{k} a_{ik} g_{i} g_{k} + \tfrac 12 \pi i \sum_{i} g_{i} h_{i} + \sum_{i} g_{i} u_{i}}\\ \cdot \vartheta \left( u_1 + \frac{\varpi_{1}}{2}, u_{2} + \frac{\varpi_{2}}{2}, u_{3} + \frac{\varpi_{3}}{2} \right).\end{split} \] Alle diese Functionen werden erhalten, wenn man in dem Zahlencomplex \(\left\{ \begin{matrix} g_1 g_2 g_3\\ h_1 h_2 h_3 \end{matrix} \right\}\) den \(g\) und \(h\) auf alle möglichen Arten die Werthe 0 und 1 beilegt; es giebt im Ganzen 64 solcher Functionen. Dieser Zahlencomplex, welcher nach Riemann “Charakteristik” der \(\vartheta\)-Functionen genannt wird, ist für die folgende Theorie von der grössten Wichtigkeit. Deshalb hat der Herr Verfasser diese “Charakteristik” ausführlich behandelt, und hat, hanz abgesehen von der besonderen Bedeutung der Charakteristik, allein aus dem Begriff derselben, mit Hülfe der combinatorischen Analysis eine Reihe von Sätzen hergeleitet, welche den Angelpunkt der ganzen Theorie der Abel’schen Functionen vom Geschlecht 3 bilden. Die Charakteristik \(\left( \begin{matrix} g_1 g_2 g_3\\ h_1 h_2 h_3 \end{matrix} \right)\) heisst grade oder ungrade, je nachdem die Summe \(g_1 h_1 + g_2 h_2 + g_3 h_3\) grade oder ungrade ist, und es ergiebt sich, dass die \(\vartheta\)-Functionen mit graden Charakteristiken grade, die mit ungraden Charakteristiken ungrade Functionen sind. Um die halben Periodensysteme zu ermitteln, für welche eine \(\vartheta\)-Function von gegebener Charakteristik auf alle mögliche Arten in zwei andere zu zerlegen, von denen wenigstens eine ungrade ist. Sämmtliche \(6 \cdot 63\) Paare von ungraden Charakteristiken ordnen sich in Gruppen von je 6 Paaren in der Weise, dass die sämmtlichen Paare einer Gruppe die nämliche Summe ergeben, welche “Gruppencharakteristik” genannt wird. Es folgt nun eine Reihe von Sätzen über die merkwürdigen Gruppirungen dieser Charakteristiken, und die Zerlegung einer graden Charakteristik in drei ungrade übersichtlich zusammengestellt.
Im folgenden Paragraphen: “Das Additionstheorem der \(\vartheta\)-Functionen” wird ein System von acht \(\vartheta\)-Functionen ausdrücken lassen. Es wird eine Reihe von Formeln gewonnen, welche zu einer vollkommen entwickelten und verhältnissmässig sehr einfachen Darstellung des Additionstheorems der sechsfach periodischen Functionen führen. Die resultirende Form ist ganz analog dem Additionstheorem für die elliptischen und für die hyperelliptischen Functionen erster Ordnung (vgl. Königsberger’s Abhandlung in Borchardt J. LXIV. p. 17). Den Schluss des I. Abschnittes bilden eine Reihe von Relationen zwischen constanten Werthen der \(\vartheta\)-Functionen.
Der II. Abschnitt behandelt die algebraischen Functionen vom Geschlecht 3 und ihre Integrale. Hier werden die Riemann’schen Anschauungen und Bezeichnungen recapitulirt und die Hauptpunkte der Riemann’schen Theorie für den vorliegenden Fall specialisirt. Den Ausgangspunkt bildet die algebraische Gleichung \[ F(s^{n}, z^{m}) = 0, \] und die algebraische Function \(s\) von \(z\) gehört (nach der Bezeichnung von Clebsch) zum Geschlecht 3, wenn die ihren Verlauf darstellende, die \(z\)-Ebene \(n\)-fach bedeckende Riemann’sche Fläche \(T\) siebenfach zusammanhängend ist. Nun werden die “Integrale erster Gattung” \[ w = \int \frac{\varphi \; (s^{n-2}, z^{m - 2})dz}{\frac{\partial F}{\partial s}} \] betrachtet. Die Functionen \(\varphi\) können linear und homogen durch 3 unter ihnen \((\varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3})\) ausgedrückt werden. Das Verhältniss zweier Functionen \(\varphi\) geht durch eindeutige Transformation wieder in das Verhältniss zweier solcher Functionen über, so dass die Functionen \(\varphi\) für alle diese Tranformationen den Charakter von Covarianten haben. Zwischen den 3 Functionen \(\varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3}\) besteht eine homogene Gleichung vierter Ordnung \(\varPhi \; (\varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3})\), und nun wird die Function \[ \sigma = \frac{\Psi_{1}(\varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3})}{\Psi_{2} (\varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3})} \] aufgestellt. Dadurch, dass soweit es thunlich war, nur solche Functionen benutzt werden, die den Charakter der Invarianz bei jeder rationalen Transformation bewahren, gewinnt die Untersuchung an Allgemeinheit, Einfachheit und Eleganz.
Unter Beschränkung auf die Integrale erster Gattung wird nun dem Abel’schen Theorem folgender Ausdruck gegeben: “Die Summe der Werthe eines Integrals erster Gattung, erstreckt von festen Punkten bis zu denjenigen Punkten, in denen eine homogene Function von \(\varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3}\) verschwindet, ist von den Coefficienten dieser homogenen Function unabhängig”. Der aus diesem Theorem erkannte Zusammenhang der algebraischen Integrale mit den periodischen Functionen führt zur Aufstellung der beiden Probleme: “Es sollen gegebene sechsfach periodische Functionen der Variabeln \(v_1, v_2, v_3\) algebraisch durch die in den Punkten \(\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}\) stattfindenden Werthe von \(s, z\) dargestellt werden”, und : “Es sollen die Punkte \(\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}\) auf algebraischem Wege aus den als gegeben vorausgesetzten Werthen von \(v_{1}, v_{2}, v_{3}\) ermittelt werden”. Das erste dieser Probleme nennt Herr Weber das “Riemann’sche”, weil der Nachweis seiner allgemeinen Lösbarkeit den Schlsstein von Riemann’s Theorie bildet; das zweite ist das “Jacobi’sche Umkehrproblem”.
Zunächst werden die Integrale erster Gattung mit den \(\vartheta\)-Functionen in Beziehung gesetzt, und zwar dadurch, dass den Periodicitätsmoduln dieser Integrale dieselbe Form gegeben wird, welche die Perioden der aus \(\vartheta\)-Functionen gebildeten sechsfach periodischen Functionen haben. Die Betrachtung der Integrale erster Gattung als Argumente der \(\vartheta\)-Functionen liefert das Resultat, dass es nur eine Lösung des Jacobi’schen Problems giebt, und lässt die Bedingung für die Unbestimmtheit derselben erkennen. Es folgt nun die Darstellung algebraischer Function durch die \(\vartheta\)-Functionen; es gilt der Satz, der als die “Umkehrung des Abel’schen Theoremes” bezeichnet werden kann: “Wenn die Punkte \[ \eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{\mu};\quad \eta_1', \eta_2', \ldots \eta_\mu' \] der Congruenz genügen; \[ \left[ h_{1}^{3} \left( \int_{\eta'_{1}}^{\eta_{1}} du_h + \int_{\eta'_{2}}^{\eta_{2}} du_h + \cdots + \int_{\eta'_{\mu}}^{\eta_{\mu}} du_h \right) \right] \equiv (0, 0, 0), \] so existirt eine rationale Function \(\sigma\) von \(s\) und \(z\), die in den Punkten \(\eta_{1}, \eta_{2}, \ldots \eta_{\mu}\) unendlich klein, in \(\eta'_{1}, \eta'_{2}, \ldots \eta'_{\mu}\) unendlich gross von der ersten Ordnung, sonst weder Null noch unendlich wird”. Es wird nun gezeigt, wie die Function \(\sigma\), deren Darstellung auf unendlich verschiedene Arten möglich ist, am einfachsten dargestellt wird, und zwar unter der Form: \[ \sigma = \frac{\Psi (\varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3})}{\varphi_{4} \cdot \varphi_{5}}. \] Im Ganzen existiren 28 Functionen \(\varphi\), welche in zwei Punkten unendlich klein von der zweiten Ordnung werden; sie repräsentiren, gleich 0 gesetzt, die Gleichungen der 28 Doppeltangenten der Curve vierter Ordnung \(\varPhi (\varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3}) = 0\). Die Quadratwurzeln aus diesen Functionen \(\varphi\) heissen nach Riemann “Abel’sche Functionen”.
Der Behandlung dieser Abel’schen Functionen ist Abschnitt III. gewidemt. Nunächst werden die Abel’schen Functionen durch die \(\vartheta\)-Functionen dargestellt. Wenn eine Abel’sche Functionen \(\surd x\) in denselben Punkten verschwindet, wie \[ \vartheta \{ \varpi \} \left( \int_{\xi'}^{\xi} du_h \right), \] so heisst \((\varpi)\) die “Charakteristik” der Abel’schen Function und wird mit \((\surd x)\) bezeichnet. Dann besteht die Relation: \[ \sqrt{\frac{x_1 x_1'}{x_2 x_2'}} = \frac{\vartheta \{ \surd x_1 \} \left( \int_{\xi'}^{\xi} du_h \right)}{\vartheta \{ \surd x_2 \} \left( \int_{\xi'}^{\xi} du_h \right)}, \] und für das Quadrat einer beliebigen Abel’schen Function erhält man den Ausdruck: \[ x = \vartheta_{1}' \{\surd x\} \varphi_{1} + \vartheta_{2}' \{\surd x\} \varphi_{2} + \vartheta_{3}' \{ \surd x \} \varphi_{3}. \] Sucht man nun aus den Abel’schen Functionen Ausdrücke zusammenzusetzen, die sich rational durch \(s, z\) darstellen lassen, so gewinnen auch die früheren Sätze über die Gruppirung der ungraden Charkteristiken eine bestimmte algebraische und geometrische Bedeutung. Es ergeben sich auf diesem Wege mehrere der von Steiner, Hesse und Aronhold aufgestellten Sätze über die Doppeltangenten der Curven vierter Ordnung. Die Auflösung der Gleichung \(28^{\text{ten}}\) Grades für die Bestimmung der Abel’schen Functionen (oder der Doppeltangen der Curven vierter Ordnung) muss als bekannt vorausgesetzt werden; dann bleibt zur Erledigung der oben aufgestellten Fundamentalprobleme noch die algebraische Bestimmung der einzelnen Abel’schen Functionen und ihrer Charakteristiken übrig. Nach vollständiger Erledigung dieser Frage werden Gleichungen augestellt zwischen den \(\vartheta\)-Moduln und den sogen. “Classenmoduln”, d. h. den 6 Constanten, von denen die Normalform \[ \sqrt{x_1 \xi_{1}} + \sqrt{x_2 \xi_{2}} + \sqrt{x_3 \xi_{3}} = 0 \] der algebraischen Gleichung abhängig ist, die den betrachteten Functionen zu Grunde liegt. Daran schliesst sich eine Untersuchung der algebraischen Eigenschaften und der geometrischen Bedeutung der für das Folgende wichtigen “Wurzelfunctionen”. Unter einer Wurzelfunction (zweiten Grades) versteht der Herr Verfasser ganze rationale und homogene Ausdrücke, gebildet aus den Abel’schen Functionen, von der Eigenschaft, dass jedes Glied derselben die nämliche Charakteristik hat. Diese Wurzelfunctionen werden nach ihrer Ordnung eingetheilt. Von besonderer Bedeutung sind die Wurzelfunctionen dritter Ordnung, weshalb sie einer eingehenderen Betrachtung unterworfen werden.
Nach diesen Vorbereitungen schreitet nun der Herr Verfasser im IV. Abschnitt zur endlichen Lösung der beiden oben aufgestellten Fundamentalprobleme. Zunächst wird die algebraische Darstellung der sechsfach periodischen Functionen vollendet, aber unter Beschränkung auf den einfachsten Fall, nämlich auf die sechsfach periodischen Functionen zweiter Ordnung. Zur Lösung dieses Falles reichen die Wurzelfunctionen zweiten Grades vollständig aus. Die hier gewonnenen Resultate führen dann sofort zu einer sehr eleganten Lösung des Jacobi’schen Umkehrproblems, welche den Schluss des Werkes bildet.

MSC:

14K20 Analytic theory of abelian varieties; abelian integrals and differentials
14K25 Theta functions and abelian varieties
Full Text: Link