Elliot, M. Determination of the number of abelian integrals of the first kind. (Détermination du nombre des intégrales abéliennes de première espèce.) (French) JFM 08.0299.01 Ann. de l’Éc. Norm. (2) V, 399-444 (1876). Ist \(F(x, y) = 0\) eine irreductible Gleichung \(m^{\text{ten}}\) Grades und \(\Psi (x, y)\) irgend eine rationale Function von \(x\) und \(y\), so ist \[ \int \Psi (x, y) dx \] ein Abel’sches Integral. Dasselbe heisst (nach Riemann) Abel’sches Integral erster Gattung, wenn es von der Form \[ \int \frac{N (x, y)dx}{F_{y} (x, y)} \] ist, wo \(N(x, y)\) ein Polynom vom Grade \(m - 3\), dessen Coefficienten so beschaffen sind, dass das Integral für alle Werthe von \(x\) endlich bleibt. Für den Fall, wo die Curve \(F(x, y) = 0\) keine anderen singulären Punkte hat, als Doppelpunkte und Rückkehrpunkte, haben Clebsch und Gordan (Theorie der Abel’schen Functionen p. 15) die Anzahl der Abel’schen Integrale erster Gattung bestimmt. Dieselbe ist: \[ p = \tfrac 12 (m - 1)\; (m - 2) - d - r, \] wo \(d\) die Anzahl der Doppelpunkte, \(r\) die Anzahl der Rückkehrpunkte bedeuten. Die Anzahl der Perioden des Integrals ist gleich \(2p\). In vorliegender Arbeit wird nun die Anzahl der Integrale erster Gattung ganz allgemein, d. h. für Curven \(F(x, y) = 0\) mit beliebigen SIngularitäten, bestimmt, und gezeigt, dass diese Anzahl auch in dem allgemeinen Fall halb so gross ist, wie die Anzahl der Perioden. Die Anzahl dieser Perioden ist ganz allgemein von Briot und Bouquet (Théorie des fonctions elliptiques, p. 170) angegeben. Herr Elliot bedient sich der Puiseux’schen Methode (siehe das eben citirte Werk p. 42), welche darin besteht, dass die Glieder des niedrigsten Grades in der Gleichung \(F(x, y) = 0\) gesucht werden, indem man \(x\) als Grösse erster Ordnung und \(y\) als unendlich kleine Grösse einer Ordnung \(\mu\) ansieht. Die hier benutzten Relationen sind auf anderem Wege von Halphén (C. R. 1874; s. F. d. M. VI. 254, JFM 06.0254.01) hergeleitet. Die gewonnenen Resultate werden angewendet auf die Untersuchung der Gleichung \(F(x, y) = 0\) für die Fälle, wo sich dass Integral \[ \int \Psi (x, y) dx \] durch algebraische Functionen und Logarithmen, oder durch diese und elliptische Functionen ausdrücken lässt. Reviewer: Müller, F., Dr. (Berlin) MSC: 30F30 Differentials on Riemann surfaces JFM Section:Siebenter Abschnitt. Functionentheorie. Capitel 2. Besondere Funktionen. Keywords:abelian integrals Citations:JFM 06.0254.01 × Cite Format Result Cite Review PDF Full Text: Numdam EuDML