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Zur Construction eines äquianharmonischen Systems. (German) JFM 08.0355.04

Wenn auf einer Geraden \(L\) eine cyclische Projectivität hergestellt wird, in der die Punkte \(a, b, c\) den Punkten \(b, c, a\) entsprechen, so handelt es sich darum, die Involution zu finden, deren Doppelelemente \(i, i_1\) die vereinigten Elemente der beiden Punktreihen sind. Auch die Elemente \(b, c\) können conjugirt imaginär sein, so dass sie durch eine Involution repräsentirt werden, deren Doppelpunkte sie sind. Die Construction ist folgende: \(\alpha\) sei der conjugirte Punkt von \(a\) in dieser letzten Involution, \(x\xi\) ein beliebiges Paar derselben; man suche \(p\) so, dass \((a\alpha \xi p)= -1\), ferner \({\mathfrak{x}}\) so, dass \((ap\xi {\mathfrak{x}}) = -1\), so sind die Doppelelemente der durch \(a\alpha, x {\mathfrak{x}}\) bestimmten Involution die gesuchten Punkte \(i, i_1\). Es folgt der Beweis des Satzes, dass, je nachdem \(b, c\) reell oder conjugirt imaginär sind, \(i, i_1\) conjugirt imaginär oder reell sind, sodann die Construction von \(b, c\), wenn \(a, i, i_1\) gegeben sind; wobei sich zeigt, dass, wenn \(i, i_1\) die vereinigten Elemente der cyclischen Projectivität: \(abc \barwedge bca\) sind und \((ii_1 a\alpha) = -1, b, c\) die vereinigten Elemente von \(\alpha i i_1 \barwedge ii_1 \alpha\) sind. Zum Schlusse wird noch gezeigt, dass die beiden Doppelverhältnisse \((abci)\) und \((abci_1)\) die imaginären cubischen Wurzeln der negativen Einheit sind, also \(i\) und \(i_1\) zu \(abc\) äquianhormonisch liegen (vergl. Steiner-Schröter’s Vorlesungen 2. Aufl. p. 61-63. 81. 83).
Die Punkte \(i, i_1\) bilden die Hesse’sche Form (\(2^{\text{ten}}\) Grades) der binären cubischen Form, welche die Punkte \(a, b, c\) darstellt; wir haben also im Obigen einen rein geometrischen Beweis des Satzes in Clebsch, Binäre Formen \(\S\) 38.

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