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Révision et extension des formules numériques de la théorie des surfaces réciproques. (French) JFM 08.0365.03
Gewöhnliche Singularitäten einer algebraischen Fläche sind solche, die bei einer allgemeinen Ordnungs- oder Klassenfläche, d. h. bei einer durch eine allgemeine Gleichung in Punkt- oder Ebenen-Coordinaten dargestellten Fläche auftreten. Die Relationen zwischen diesen hat Salmon (Transactions of the R. Irish Academy Bd. 23 p. 485; die beiden ersten Aufl. der Raumgeometrie oder die erste Aufl. der Fiedler’schen Berabeitung) gegeben, bis auf eine. Diese hat dann Cayley hinzugefügt, sowie auch noch einige andere Singularitäten mit in die Betrachtung genommen: die conischen und biplanaren Doppe;punkte (uninodes und binodes), die pinch-points und close-points, welche auftreten, sobald die Fläche eine Doppel- oder Rückkehrcurve besitzt, die off-points und gewisse Punkte of unexplained singularity und die dualen Ebenen (Philos. Transact. Bd. 154 p. 201, Bd. 162 p. 83; Salmon’s Raumgeom. 3. Aufl. p. 526. 539; deutsche Bearb. 2. Aufl. Bd. II. p. 587. 605).
Zeuthen (welcher schon die Correctionen des zweiten Aufsatzes der Philos. Transactions veranlasst hat) nimmt wenigstens direct die beiden letzten Singularitäten nicht, statt dessen aber schon in dem Aufsatze Clebsch Ann. IV. 1 conische Punkte der Fläche von höherem Grade der Vielfachheit auf, jedoch dort ohne den Beweis für die Coefficienten, welche er ihnen in den Relationen ertheilt, zu geben. In einem Zusatze in demselben Band der Ann. p. 636 äussert er schon einige Bedenken über gewisse Glieder der Formeln. Sodann hat er in einer Note (Clebsch Ann. IX. 321) noch eine besondere Klasse von doppelten Punkten mit einer einzigen (doppelten) Berührungsebene, welche die dualen Eigenschaften des Berührungspunktes hat, in die Betrachtung gezogen: Doppel- und Rückkehrpunkte der Doppel- und der Rückkehrpunkte und gegenseitige auf ihnen nicht singuläre Schnittpunkte beider Curven; so dass so, mit dem Range \(a\), 6 Singularitäten Zahlen sind, die ihren dualen gleich sind.
Die vorliegende umfangreiche Arbeit zerfällt nun in 14 Abschnitte. Der erste bringt eine Aufzählung der betrachteten Singularitäten eines \(n\)-fachen conischen Pnktes, den 6 Formeln \(a = a'\) etc. hat Zeuthen es vorzugsweise mit 14 Formeln (6) bis (19) zu thun, von denen 13 durch Dualisirung zu (6’) bis (18’) führen, während in (19) die beiden Seiten dual sind; (19) setzt er an Stelle der neuen Cayley’schen, wie überhaupt – abgesehen von den revidirten Coefficienten und neu hinzugetretenen Gliedern – seine Formeln nicht ganz den Salmon-Cayley’schen entsprechen, sondern zum Theil andere Combinationen sind und auch selbst noch wieder zu einfacheren combinirt werden.
Im dritten Abschnitte leitet er (6) bis (12) ab durch Betrachtung der ebenen Schnitte, bez. der die Doppel- oder Cuspidalcurve aus einem Punkte projicirenden Kegel, (13) bis (18) – welche mit \(a\;(n - 2), \; b\; (n - 2), \; c\; (n - 2), \; a \; (n-2) \;(n-3)\) u. s. f. beginnen – hingegen vermittelst einer Correspondenz von Punkten auf den Geraden durch einen festen Punkt, die die Fläche tangiren oder die Doppel- oder Cuspidalcurve treffen. (19) ergiebt sich dadurch, dass in den Punkten der Cuspidalcurve, in denen die Berührungsebene der Fläche mit der Osculationsebene dieser Curve identisch ist, diese Tangentialebene die duale Eigenschaft hat. Wie die Coincidenzen der Correspondenzen durch die höheren Singularitäten entstehen oder wie sie in diesem letzten Fall die Zahl der Punkte vermindern, und mit welchen numerischen Coefficienten sie dazu auftreten, wird erst in der folgenden Betrachtung gezeigt. Es mag jedoch hier auch auf die Entwickelung der Singularitäten-Relationen aufmerksam gemacht werden, welche Zeuthen schon früher in dem Aufsatze über Systeme von ebenen Curven (Abhandlungen der dänischen Akademie 5. Ser. Bd. 10. IV. S. 345) gegeben hat, wo er die Schnitte der Fläche mit den Ebenen eines Büschels aus einem Punkte projicirte.
Im nächsten Abschnitte wird schon für einige einfachere besondere Lagen der Spitze der Tangentialkegel und dabei auftretende höhere Singularitäten untersucht. Dazu hat Zeuthen in demselben Band der Ann. S. 210 eine Note über Singularitäten der ebenen Curven voraufgeschickt, in der er nach dem Vorgang von Cayley (Quart J. VII. 212) die sogenannten Plücker’schen Aequivalenten einer höheren Singularität ermittelt. Aus diesen sucht er dann hier stets die mit anderen direct zu erkennenden Eigenschaften sich vertragenden aus. Dies wird für die schwierigeren “ausserordentlichen” Singularitäten der Fläche, die in den folgenden Abschnitten betrachtet werden, fortgesetzt, und damit neben dem eigentlichen Ziele der Ermittelung der Coefficienten in den numerischen Formeln eine viel vollständigere Kenntniss dieser Singularitäten gewonnen. So bringt zunächst der fünfte Abschnitt eine eingehende Untersuchung der pinch-points auf der Doppelcurve, derjenigen Punkte dieser Curve, deren beide Tangentialebenen sich vereinigen (bisher Rückkehr- oder Cuspidalpunkte in Deutschland genannt und am meisten bekannt). Bei einem solchen Punkte \(J\) werden z. B. die verschiedenen Geraden und Ebenen durch ihn studirt, und deren Schnitte. Bekannt ist, dass es in der Berührungsebene von \(J\) durch \(J\) eine ausgezeichnete Gerade giebt, so beschaffen, dass alle durch sie gehenden Ebenen die Fläche in \(J\) tangiren. Zeuthen findet, dass zwei von ihnen stationär berühren, studirt ferner das Verhalten der parabolischen Curve, der Developpablen der stationären Berührungsebenen und ihrer Rückkehrcurve bei \(J\); untersucht die Tangentialkegel aus dem Punkte \(J\), aus einem Punkte der ausgezeichneten Geraden oder der Berührungsebene von \(J\) oder einer der beiden stationären Ebenen durch die erstere und dabei je die Singularität der nach \(J\) gehenden Kante. Im sechsten Abschnitte werden die close-points betrachtet, diejenigen Punkte der Rückkehrcurve, bei denen ein beliebiger durchgelegter ebener Schnitt statt einer Spitze eine Berührung zweier Zweige hat; sadann in den beiden nächsten Abschnitten die biplanaren und uniplanaren Punkte, das sind die Doppelpunkte der Fläche, deren Tangentenkegel aus zwei verschiedenen, bez. identischen Ebenen besteht. Darauf folgt die Betrachtung der osculirenden Ebenen, d. h. der Ebenen, welche in einem einfachen Punkte tangiren, der aber für den Schnitt ein dreifacher Punkt ist, und welche bis jetzt noch nicht genauer untersucht waren.
Bis hierher ist jeder betrachteten Singularität die duale, deren Eigenschaften das Gesetz der Dualität ergab, gleich nachgeschickt. Nun folgen zwei Abschnitte (X und XI), welche eine sehr eingehende Studie über die \(n\)-fachen conischen Punkte bringen. Es wird hier angenommen, dass der Tangentenkegel \(n^{\text{ter}}\) Ordnung ausser \(y\) Doppel- und \(z\) Rückkehrkanten, die die Doppel-, bez. Rückkehrcurve berühren, noch \(\eta\) andere Doppel und \(\zeta\) andere Rückkehrkanten habe. Hier wird die Spitze des Tangentialkegels gelegt in einen beliebigen Punkt, auf den Tangentenkegel des \(n\)-fachen Punktes, in diesen selbst, auf eine der \(\eta\) oder \(\zeta\) Geraden, in eine der längs derselben oder eine der stationär den Tangentenkegel berührenden Ebenen. Die duale Singularität der längs einer Curve \(n^{\prime\text{ter}}\) Classe berührenden \(n'\)-fachen Ebene erfährt, weil bei ihr manche Verhältnisse anschaulicher auftreten, im nächsten Abschnitte eine theilweise selbstständige Behandlung.
Bei diesen Betrachtungen stellt sich heraus, dass gewisse Singularitäten “de définition ponctuel” solche “de définition tangentiel” oder umgekehrt involviren. Eine clos-plane z. B. liefert in ihrem einen singulären Punkt und eine bipunktuelle Ebene (zum biplanaren Punkte dual) in ihren beiden singulären Punkten vierfache Punkte der Cuspidalcurve; oder die Schnittpunkte zweier der \(\eta'\) Doppeltangenten oder zweier der \(\zeta'\) Wendetangenten der im Abschnitte XII. betrachteten \(n'\)-fachen Berührungsebene sind dreifache bez. vierfache Punkte der Doppelcurve. Cayley hat den Einfluss dieser durch andere Singularitäten inducirten Singularitäten nicht übersehen, aber nicht klar erkannt, und sie eben als Punkte oder Ebenen “of unexplained singularity” in einigen Formeln eingeführt.
Der Abschnitt XIII. bringt dann Anwendungen, zunächst auf die cubische Fläche, bei der jedoch einige Relationen Modificationen erheischen; die mit einem biplanaren Punkte verbundenen Singularitäten waren von Cayley noch nicht berücksichtigt und deshalb weichen einige seiner Angaben in seinem grossen Aufsatze on Cubic Surfaces (Philos. Transact. Bd. 159. S. 235), der dem ersten obigen folgt, von denen Zeuthen’s ab. Weitere Anwendungen geschehen auf die Fläche \(4^{\text{ter}}\) Ordnung mit einem doppelten oder cuspidalen Kegelschnitte, mit einem biplanaren Punkte, mit einem conischen Punkte, bei dem \(n = 3, \eta = 1\) oder \(n = 3, \zeta = 1\) ist.
Der letzte Abschnitt, der mehr als Anhang zu betrachten, bringt, wie der Verfasser selbst sagt, eine noch etwas leger gemachte Vervollständigung der schon Math. Ann. IV. 635 gegebenen Formel für das Geschlecht \(p\) einer Fläche.

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