Sur le contact des courbes planes avec les coniques et les courbes du troisième degré. (French) JFM 08.0389.03

Halphén, G.

Bull. S. M. F. IV, 59-85 (1876).

In dieser Arbeit giebt der Verfasser eine Bestimmung der Anzahl derjenigen Punkte einer ebenen Curve, in welchen ein Kegelschnitt sechspunktig oder eine Curve \(3^{\text{ter}}\) Ordnung mehr als neunpunktig berühren kann, indem er dabei die gegebene Curve mit beliebigen Singularitäten behaftet annimmt.
Mit Zuhilfenahme der Reihenentwickelungen, die in der Nähe eines singulären Punktes einer Curve gelten, gelangt Halphén zu dem allgemeinen Satze: Seien \(m, c\) Ordnung und Klasse einer Curve, \(N\) die Gesammtzahl der Zweige dieser Curve, welche mit ihren Tangenten Berührungen haben, deren Ordnungen von Eins verschieden sind; sei endlich \((4 + l)\) die Ordnung der Berührung eines Zweigs mit seinem osculirenden Kegelschnitt in einem Punkte, in dem diese Ordnung von 4 verschieden und die Berührung mit der Tangente von der ersten Ordnung ist; dann hat man \[ \varSigma l = 3(c - 2m + N). \] Für Curven ohne Singularitäten ergiebt sich hieraus die von Cayley und Painvin schon gefundene Zahl \(m\; (12m - 27)\). (Vgl. Cayley, Phil. Trans. 1865; Painvin C. R. LXXXVIII.). Hat die Curve nur gewöhnliche Singularitäten, und zwar \(r\) Rückkehrpunkte, so ist die Zahl der Sechsberührungspunkte (points sextactiques) gleich \(12c - 15m + 9r\).
Für die Anzahl der Punkte, in welchen eine mehr als neunpunktige Berührung mit Curven \(3^{\text{ter}}\) Ordnung stattfinden kann, gelangt Halphèn ebenfalls zu einem allgemeinen Ausdruck, den wir seiner Complication wegen nicht anführen wollen. Für eine Curve ohne Singularitäten ist diese Zahl \(= 15m\; (3m - 7)\), und für eine Curve mit den gewöhnlichen Singularitäten findet sie sich \[ = 15(c - 2m + i + 2r) - 4r - 5i; \] wobei \(r\) dieselbe Bedeutung hat wie oben, und \(i\) die Anzahl der Wendepunkte ist.

Reviewer: Lüroth, Prof. (Carlsruhe)

JFM Section:

Achter Abschnitt. Reine, elementare und synthetische Geometrie. Capitel 5. Neuere synthetische Geometrie. C. Abzählende Geometrie.