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Moduln vielfacher Bedingungen bei Flächen \(2^{\text{ter}}\) Ordnung. (German) JFM 08.0407.02
Durch Combinirung von Geraden einer Fläche \(2^{\text{ter}}\) Ordnung aus verschiedenen Schaaren erhält man \(\infty^{2}\) Geradenpaare (Schneidepaare- im Sinne der oben besprochenen längeren Abhandlung), und eine \(b\)-fache einem solchen Paare auferlegte Bedingung ist für die Fläche eine \((b - 2)\)-fache. Die von einem Paare zu erfüllenden Bedingungen \(1^{\text{ter}}\) bis \(7^{\text{ter}}\) Dimension lassen sich auf eine geringere Zahl reduciren. Es werden vom Verfasser 17 sogenannte Hauptbedingungen (\(1^{\text{ter}}\) bis \(5^{\text{ter}}\) Dimension) der Fläche \(F^2\) aufgezählt, von denen 10, nämlich die 3 Charakteristiken \(\mu, \nu, \varrho\) eines Systems \(1^{\text{ter}}\) Stufe, ferner die Bedingungen
\(\gamma\) (\(2^{\text{ter}}\) Dim.): eine gegebene Ebene auf einer gegebenen Geraden zu tangiren,
\(\gamma'\) (\(2^{\text{ter}}\) Dim.): dual hierzu,
\(\delta\) (\(2^{\text{ter}}\) Dim.): eine Gerade aus einem gegebenen Strahlbüschel zu enthalten,
\(x\) (\(3^{\text{ter}}\) Dim.): eine gegebene Gerade zu enthalten,
\(w\) (\(3^{\text{ter}}\) Dim.): eine gegebene Ebene in einem gegebenen Punkte zu berühren.
\(y\) (\(4^{\text{ter}}\) Dim.): eine gegebene Gerade zu enthalten und zugleich eine gegebene Ebene durch dieselbe in einem gegebenen Punkte der Geraden zu tangiren,
\(z\) (\(5^{\text{ter}}\) Dim.) ein gegebenes Paar zu enthalten, als wesentlich von den andern, die symbolische Producte sind, unterschieden werden. Vermittelst einfacher geometrischer Betrachtungen werden die irreduciblen Paarbedingungen (\(3^{\text{ter}}\) bis \(7^{\text{ter}}\) Dimension für die Paare, \(1^{\text{ter}}\) bis \(5^{\text{ter}}\) für die Fläche) durch diese Hauptbedingungen ausgedrückt.
Es handelt sich nun darum, die 7 wesentlichen Hauptbedingungen \(\gamma_{1} \ldots, z\) als (symbolische) Functionen der Charakteristiken darzustellen, also ihre Moduln zu finden.
Die früheren Geradenpaar-Formeln (siehe das zweitvorangehende Referat) \[ g + h - \beta = \varepsilon \] und \[ \beta \sigma = (\mu + c) \sigma \] führen nach symbolischer Multiplication der ersteren mit dem Schneidepaar-Symbol \(\sigma\) zu \[ g \sigma + h\sigma - \mu \sigma + c\sigma = \varepsilon \sigma; \] da hier aber alle Paare Schneidepaare sind, so kann das Symbol \(\sigma\) fallen gelassen werden; die Schneidepaar-Coincidenz wird deshalb auch eine einfache Bedingung und mit \(\tau\) bezeichnet (obiges \(\sigma\) kommt nicht mehr vor, vielmehr hat \(\sigma\) später eine andere Bedeutung); ausserdem ist \(p\) und \(e\) statt \(\mu\) und \(c\) gesetzt, wie am Anfang der oben besprochenen längeren Abhandlung; also: \[ g + h - e - p = \tau. \] Hieraus werden durch symbolische Multiplication 23 weitere Relationen \(2^{\text{ter}}\) bis \(7^{\text{ter}}\) Dimension zwischen Grundbedingungen des allgemeinen Geraden-(schneide)paars und denen der Coincidenz abgeleitet, so dass durch Elimination der ersteren aus diesen und den obigen sich Relationen zwischen den Coincidenzpaar und den 17 Hauptbedingungen der \(F^2\) ergeben. Coincidenzpaare sind aber nur auf ausgearteten \(F^2\) möglich. Die drei Ausartungen des \(1^{\text{ten}}\) Typus: Kegelschnitt \(\sigma\), Kegel \(\kappa\), Punkt-Ebenenpaar \(\varepsilon\) – welche Buchstaben zugleich wieder die Bedingungen bezeichnen, dass eine \(F^2\) so ausarte – werden hinsichtlich ihrer Geraden, Geradenpaare und Coincidenzen derselben beschrieben; sodann wird die einfache Punkt-, Geraden-, Ebenen-Bedingung \(m, n, r\) dieser Gebilde, in sofern sie selbstständige Gebilde und nicht Ausartungen sind, eingeführt und gezeigt, dass, sobald eine Multiplication mit \(\sigma, \kappa, \varepsilon\) statthat, jeder Factor \(\mu, \nu, \varrho\) bez. durch \(m, n, r\) ersetzt werden kann, und umgekehrt, mit Ausnahme von \(\mu \sigma = 2 m \sigma, \; \varrho k = 2r\kappa, \; \nu \varepsilon = 2n \varepsilon\) (wofür ein mehr eingehender Beweis erwünscht wäre). Hierdurch und durch die bekannten Formeln zwischen \(\mu, \nu, \varrho\) und \(\sigma, \kappa, \varepsilon\) ist es möglich, symbolische Producte von \(\mu, \nu, \varrho\), und \(\sigma, \kappa, \varepsilon\) durch symbolische Producte von \(\mu, \nu, \varrho\) zu ersetzen. Nachdem noch für mehrere von den selbstständigen Gebilden \(\sigma, \kappa, \varepsilon\) zu erfüllende Bedingungen ihre Moduln in den Elementarbedingungen \(m, n, r\) – freilich ohne ausführlichen Beweis – gegeben sind, werden auf geometrischem Wege Relationen zwischen Coincidenzgeradenpaar-Bedingungen \(1^{\text{ter}}\) bis \(5^{\text{ter}}\) Dimension und den Producten \(m^{\alpha} n^{\beta} r^{\gamma}\) mit \(\sigma, \kappa, \varepsilon\) ermittelt, also auch zwischen jenen und den Producten von \(\mu, \nu, \varrho\), mithin auch zwischen den 14 weiteren Hauptbedingungen und diesen letztgenannten Producten, womit das Problem gelöst ist; z. B. ist \[ x = \tfrac{1}{4} (2\nu^{3} - 3\nu^{2}\mu - 3\nu^{2} \varrho + 3\nu \mu^{2} + 3\nu \varrho^{2} - 2\mu^{3} - 2\varrho^{3} + 2\mu \nu \varrho), \] wofür später noch ein anderer Beweis – von einem Schüler Hurwitz von Schubert gefunden – mitgetheilt wird.
Hieraus lassen sich zunächst für Geradenpaar-Bedingungen, so wie aber auch noch andere Bedingungen die Moduln finden. Die gegebenen sind mehrfach durch das Princip der speciellen Lage bestätigt.
Für die Bedingung \(y\) ergeben sich 3 Moduln, welche zu zwei Relationen zwischen den \(4\)-fachen Characteristiken der \(F^2\) (den symbolischen Producten \(4^{\text{ter}}\) Dimension von \(\mu, \nu, \varrho\)) füheren; aus denen dann eine Relation zwischen den dreifachen Charakteristiken (symbolischen Producten \(3^{\text{ter}}\) Dimension von \(m, n, r\)) für den Kegelschnitt im Raume abgeleitet werden.
Ist es möglich, alle \(a\)-fachen Bedingungen eines Gebildes durch \(\alpha\) unter ihnen in linearer Weise auszudrücken, so heisst Schubert \(\alpha\) die \(a\)-fache Charakteristikenzahl dieses Gebildes, und zeigt, dass die \(a\)-fache und die \((c - a)\)-fache Charakteristikenzahlen eines Gebildes, welches die Constantenzahl \(c\) hat, gleich sind. Zum Schlusse weist er nach, dass für den Kegelschnitt im Raume zwischen den dreifachen Charakteristiken nur die obige Relation, zwischen den vierfachen jedoch vier bestehen, sa dass die 1-, 2-, 3-, 4-fache Characteristiken der \(F^2\) 0, 2, 8, 18 Relationen von welchen letzteren freilich 18 aus den niedrigeren Relationen leicht abzuleitende selbst durch eine Relation verbunden sind und also nur 17 epräsentiren), so dass die einfache, zweifache,... achtfache Characteristikenzahl der \(F^2\) bez. 3, 6, 10, 13, 13, 10, 6, 3 ist.

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