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A memoir on prepotentials. (English) JFM 08.0631.04
Die Abhandlung bezieht sich auf vielfache Integrale, ausgedrückt in Gliedern von \((s+1)\), schliesslich verschwindenden Variabeln \((x,\ldots,z,w)\) und derselben Zahl von Parametern \((a\ldots ce)\), die von der Form \[ \int\frac{\rho d\varpi}{\left\{(a-x)^2+\cdots+(c-z)^2+(c-w)^2\right\}^{\frac 12 s+q}}, \] wo \(\rho\) und d\(\varpi\) nur von den Variabeln \((x,\ldots,z,w)\) abhängen. Ein solches Integral wird in Bezug auf den Index \(\frac 12\;s+q\) “Prepotential” genannt, und wird in dem speciellen Fall \(q=-\frac\;12\) ein “Potential” sein.
Die Sprache ist die der Geometrie von mehr als 3 Dimensionen. \((x\ldots zw)\) und \((a\ldots ce)\) werden als Coordinaten von Punkten in einem Raume von \((s+1)\) Dimensionen betrachtet; die ersteren bestimmen die Lage eines Elements \(\rho d\varpi\) der anziehenden Masse, die zweiten die des angezogenen Punktes.
Es werden hauptsächlich drei Hauptfälle betrachtet. Ein specieller Fall \(B\) ist zwischen \(A\) und \(C\) eingeschoben. Diese Fälle sind:
A. Der Fall des Ebenen-Präpotentials: \(\rho\) allgemein, die anziehende Fläche degegen ist hier die Ebene \(w=0\), so dass das Massenelement \(\rho dx\ldots dz\).
B. Der Fall des Ebenen-Potentials: \(q=-\frac 12\) und die Fläche die Ebene \(w=0\) wie vorher.
C. Der Fall des Flächen-Potentials: \(q=-\frac 12\), dagegen die Flächen willkürlich oder das Massenelements \(\rho dS\).
D. Der Fall des Körper-Potentials: \(q=-\frac 12\), dagegen die Masse im Raume vertheilt und das Massenelement \(\rho dx\;dy\;dz\).
Jeder der vier Fälle giebt Veranlassung zu einem sogenannten Vertheilungstheorem, nämlich gegeben ist eine Function \(V\) von \((a\ldots ce)\), die gewissen vorgeschriebenen Bedingungen genügt, sonst aber willkürlich ist; die Form des Theorems ist dann die: Es giebt dann für \(\rho\), die Dichtigkeit oder Vertheilung des Stoffes über den Raum oder die Fläche, auf welche sich der Satz bezieht, einen solchen Ausdruck, der auch gefunden werden kann, dass das Integral \(V\) gegebene Werthe hat; in A. und B. nämlich giebt es eine solche Vertheilung über die Ebene \(w=0\), in C. über eine gegebene Fläche und in D. eine solche im Raume.
Die Aufstellung dieser vier Vertheilungssätze geschieht in Verbindung mit einander. Die Arbeit enthält ferner noch andere Untersuchungen, welche sich von selbst bei der Behandlung der Frage ergaben. Es wird bemerkt, dass Satz A. von Green herstammt. In der That ist es der Fundamentalsatz seiner Arbeit “On the attraction of ellipsoids” (1835). Satz C. in dem speciellen Falle des Raumes mit drei Dimensionen gehört ihm ebenfalls und findet sich in der Arbeit: “Essay on the application of mathematical analysis to the theory of electricity and magnetism” (Nottingham 1828) und ist von Gauss 1840 theilweise wieder entdeckt. Satz D. rührt von Lejeune-Dirichlet her (Crelle J. XXXV. p. 80-84. 1840). Diese und andere Untersuchungen von Gauss, Jacobi und Boole werden in den Zusätzen V., IX. und X. der Abhandlung besprochen.

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