×

zbMATH — the first resource for mathematics

Ginzburg-Landau vortices. (English) Zbl 0802.35142
Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications. 13. Boston, MA: Birkhäuser. xxvii, 159 p. (1994).
La fonctionnelle \[ E_ \varepsilon (u) = {1 \over 2} \int_ G | \nabla u |^ 2 + {1 \over 4 \varepsilon^ 2} \int_ G \bigl( | u |^ 2 - 1 \bigr)^ 2, \quad u \in H^ 1(G,\mathbb{C}), \] fut introduite par Ginzburg-Landau en 1950 pour l’étude des problèmes de transition de phase en supraconductivité, \(| u |\) voisin de 0 correspondant à l’état normal, \(| u |\) voisin de 1 à l’état supraconducteur, tandis que le paramètre \(\varepsilon\), qui a la dimension d’une longueur, est extrêmement petit (de l’ordre de \(10^{-6}\)cm). Tout cela explique l’intérêt qu’il \(y\) a à rechercher, pour \(g\) donnée de module 1 sur la frontière de l’ouvert \(G\): a) une \(u_ \varepsilon\in H^ 1(G,\mathbb{C})\) admettant \(g\) comme trace et minimisant l’intégrale d’énergie \(E_ \varepsilon\); b) les zéros de cette minimisante \(u_ \varepsilon\); c) sa limite quand \(\varepsilon \to 0\), si elle existe.
La solution de ces problèmes occupe la quasitotalité du livre, plus un article des mêmes auteurs au [Calc. Var. Partial Differ. Equ. 1, No. 2, 123-148 (1993)]; elle fait jouer les ressorts les plus puissants de l’analyse, et requiert des estimations très fines.
Principaux résultats: 1) Si \(G\) est étoilé, il existe exactement \(d = \deg (g, \partial G)\) points \(a_ j\in G\) et une fonction réelle \(\varphi\) harmonique sur \(G\) tels que \[ u_ *(z) = e^{i \varphi (z)} \prod_ j (z - a_ j)/ | z - a_ j | \] d’une part tende vers \(g (\zeta)\) quand \(z \to \zeta\) \(\forall \zeta \in \partial G\), d’autre part soit limite, dans \({\mathcal C}^ \infty (G \backslash \{a_ j\})\), d’une suite partielle convenable de minimisantes \(u_{\varepsilon_ n}\), \(\varepsilon_ n \to 0\). 2) Dans le cas particulier \(G = D(0,1)\): si \(g(x) = x^ 2\), pour \(\varepsilon\) petit la minimisante \(u_ \varepsilon\) n’est pas unique et ne peut être choisie arbitrairement dans 1); au contraire, si \(g(x) = x\) toute minimisante \(u_ \varepsilon\) tend vers \(u_ *\) quand \(\varepsilon \to 0\). 3) Si \(G\) est étoilé, pour \(\varepsilon < \varepsilon_ 0\) dépendant seulement de \(G\) et \(g\), \(u_ \varepsilon\) a exactement \(d\) zéros simples.
Le dernier chapitre du livre pose 19 problèmes ouverts; parmi les plus faciles à énoncer: quels résultats subsiste-t-il quand \(G\) est seulement simplement connexe? seulement connexe? Dans le cas particulier 2): avec \(g(x) = x^ 2\), pour quels \(\varepsilon\) exactement la minimisante \(u_ \varepsilon\) a-t-elle 2 zéros? avec \(g(x) = x\), \(u_ \varepsilon (x)/x\) est-il tojours réel?

MSC:
35Q60 PDEs in connection with optics and electromagnetic theory
35-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to partial differential equations
82D55 Statistical mechanics of superconductors
35R35 Free boundary problems for PDEs
PDF BibTeX XML Cite