On variational approach to the Hamilton-Jacobi PDE. (English) Zbl 0802.49021

Chabrowski, J.; Zhang, Kewei

Commentat. Math. Univ. Carol. 34, No. 4, 613-633 (1993).

Il s’agit de la construction d’une succession, qui minimise le problème \[ \inf_{u\in W^{1,\infty} (\Omega)} \int_ \Omega | H(x,y, Du)| dx, \] où \(H(x,u,P): \Omega\times \mathbb{R}\times \mathbb{R}_ n\to \mathbb{R}_ 2\) est une fonction continue et convexe quant à \(P\in \mathbb{R}_ 2\), et \(\Omega\) est un domaine borné en \(\mathbb{R}_ 2\). Dans l’hypothèse \(H(x,u(x), Du(x)) \leq 0\) en \(\Omega\) les auteurs démontrent que pour chaque sous-solution de l’équation de Hamilton Jacobi (*) \(H(x,u,Du) =0\) en \(\Omega\) il y a une succession \(u_ j\in W^{1,\infty} (\Omega)\), convergente faiblement à cette sous-solution. D’une manière analogue il est question, au lieu de (*), des équations \(u_{x_ 1 x_ 2}= E(x)\) et \(u^ 2_{x_ 2}- u_{x_ 1}= E(x)\), pour lesquelles les fonctions \(H\) sont respectivement \(H(x,p,q)= pq- E(x)\) non convexe et \(H(x,p,q)= q^ 2 -p-E(x)\) convexe.

Reviewer: S.Cinquini (Pavia)

MSC:

49L99	Hamilton-Jacobi theories
49R50	Variational methods for eigenvalues of operators (MSC2000)
35E99	Partial differential equations and systems of partial differential equations with constant coefficients

Keywords:

Hamilton-Jacobi PDE