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Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade. Hrsg. mit einer Einführung und mit Kommentaren von Peter Slodowy. (Lectures on the icosahedron and the solution of the 5th degree equations). Reprogr. Nachdr. d. Ausg. Leipzig 1884, Teubner. (Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade. Hrsg. mit einer Einführung und mit Kommentaren von Peter Slodowy.) (German) Zbl 0803.01037

Basel: Birkhäuser Verlag. Stuttgart: B. G. Teubner Verlagsgesellschaft. xxviii, 343 S. (1993).
Der nach drei englischen Ausgaben (1888, 1913, 1956) erste deutsche Nachdruck dieses bereits von Hilbert besonders gewürdigten (Vortrag Paris 1900; Ges. Abh. 3, 292) und seitdem häufig zitierten Werks kommt einem gerade in den letzten Jahren verbreiteten Interesse an “Ikosaedermathematik” entgegen – einer Mathematik, die sich an Strukturen orientiert, die die Gebiete Geometrie, Algebra und Analysis übergreifen. Im vorliegenden Buch haben wir es hier zu tun mit der Geometrie der Platonischen Körper, der Algebra von Gleichungen fünften Grades und Hilfsmitteln aus der komplexen Analysis. Kleins Werk besteht aus zwei Teilen: aus der “Theorie des Ikosaeders in engerem Sinne” und der “Theorie der Gleichungen fünften Grades”. Zum ersten Teil der Vorlesungen gehört das Studium der Symmetriegruppen der Platonischen Körper, wobei sich Klein aus Polaritätsgründen auf das Tetraeder, Oktaeder und Ikosaeder beschränken kann. Die Zentralprojektion des Ikosaeders auf die Einheitssphäre induziert eine Triangulierung durch zwanzig sphärische Dreiecke. Identifiziert man die Sphäre durch stereographische Projektion als Riemannsche Zahlenkugel, so enstprechen der Rotation des Ikosaeders gebrochen lineare Transformationen der komplex-projektiven Geraden \(\mathbb{C}\cup\{\infty\}\). Von besonderem Interesse sind die Transformationen, die invariant unter der Ikosaedergruppe sind. Sie führen auf die von Klein so genannte Ikosaedergleichung (vom Grade 60). Im Gegensatz zu den vorhergehenden Gruppen, die Klein untersucht hat, ist die Ikosaedergruppe sogar einfach, d.h. sie besitzt keine nichttrivialen Normalteiler. Sie ist isomorph zur Gruppe \(A_ 5\), die wie alle alternierenden Gruppen nur die geraden Permutationen der zugehörigen symmetrischen Gruppe \(S_ 5\) enthält. Da die Gruppe \(A_ 4\) nicht einfach ist, ist die \(A_ 5\) auch für Klein das erste interessante Beispiel einer einfachen Gruppe. Dies führt auf das Hauptresultat von Kleins Ikosaederbuch, d.h. – vereinfacht ausgedrückt – darauf, daß sich die Lösung einer Gleichung fünften Grades (mit komplexen Koeffizienten) auf die Lösung einer Ikosaedergleichung zurückführen läßt. Diese explizit durchgeführte Reduktion macht den größten Teil der zweiten Hälfte des Buches aus, die durch ein längeres Kapitel “Über die historische Entwicklung der Lehre von den Gleichungen fünften Grades” eingeleitet wird. Die Lösung der Ikosaedergleichung kann mit Hilfe hypergeometrischer Reihen oder elliptischer Integrale durchgeführt werden. Kleins Stil ist keineswegs geradlinig-systematisch, sondern eher beschreibend und ideenreich erzählend. Er hatte im gesamten Werk auf Zeichnungen verzichtet, ebenso auf ein Literatur-, Namen- oder Sachverzeichnis. Zur kommentierten Neuausgabe: Im Vorwort weist der Hrsg. besonders auf Entwicklungen der letzten Jahrzehnte hin. Eine mathematische Einführung des Hrsg. (16 S.) erleichtert den Zugang aus heutiger Sicht. Dem eigentlichen Text von Klein folgt ein ausführlicher Anmerkungsteil (47 S.) des Hrsg., eine zusammenfassende Darstellung der weiteren Entwicklung der Ikosaedermathematik (13 S.) und ein ausführliches Literaturverzeichnis mit über 400 bibliographischen Angaben vorwiegend neuerer Literatur. Gelegentlich wurden hier auch von Klein zitierte Arbeiten aufgenommen.

MSC:

01A75 Collected or selected works; reprintings or translations of classics
01A55 History of mathematics in the 19th century
51-03 History of geometry
01-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to history and biography
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