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\(U\)-derivation. (\(U\)-dérivation.) (French) Zbl 0803.12003

Es wird eine Folge \(U:= \{u_ 1, u_ 2,\dots\}\) von Null verschiedenen Elementen eines Körpers \(K\) vorgegeben. Darüber wird die sog. \(U\)- Derivation eingeführt: Sei \(f(X)= \sum_{n=0}^ \infty a_ n X^ n\) eine formale Potenzreihe aus \(K[[ X ]]\). Dann ist die \(U\)-Ableitung \(\partial_ u\) definiert durch \(\partial_ u f(X):= \sum_{n=1}^ \infty a_ n u_ n X^{n-1}\). Ist \(K=\mathbb{C}\), so erhält man für \(u_ n=n\) die übliche Ableitung, für \(u_ n= q^ n\) mit \(q^ n \neq 1\) für alle \(n\in\mathbb{N}\) die sog. Eulersche Ableitung. Es wird ein Analogon zur Taylorentwicklung angegeben und das Problem gestellt, Polynome \(P\in K[X]\) zu finden, die an den Stellen \(z_ 1,\dots, z_ n\in K\) sog. \(U\)-Nullstellen der Ordnung \(n_ i\) haben, d.h. es muß \[ P(z_ i)= \partial_ u P(z_ i)= \dots= \partial_ u^{n_ i-1} P(z_ i)=0, \qquad \partial_ u^{n_ i} P(z_ i) \neq 0 \] gelten. Eine Lösung wird angegeben im Falle einer \(U\)-Folge, die einer linearen Rekursion genügt.

MSC:

12E99 General field theory
11B83 Special sequences and polynomials
11J99 Diophantine approximation, transcendental number theory
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Full Text: DOI Numdam EuDML

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