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Canonical correlation analysis when the data are curves. (English) Zbl 0803.62049
Ce papier concerne l’Analyse Canonique Linéaire (ACL) de deux processus du second ordre \(X=(X_ t)_{t\in T}\) et \(Y= (Y_ t)_{t\in T}\), où \(T\) est un intervalle de \(\mathbb{R}\). Une extension “naturelle” de l’ACL classique de deux vecteurs aléatoires consiste à rechercher des formes linéaires \(\langle u, X_ t\rangle_{L^ 2 (T)}\) et \(\langle v, Y_ t\rangle_{L^ 2 (T)}\) respectivement \(X\) et \(Y\) de corrélation maximale et itération sous contraintes d’orthonormalité. Les auteurs donnent des arguments montrant que ce point de vue est en général inintéressant. Ils proposent donc une ACL avec lissage (ACLL) en recherchant les facteurs canoniques \(u\) et \(v\) parmi des fonctions plus régulières et en introduisant une pénalisation sur les variances liées à \(u\) et \(v\).
La mise en œuvre de la méthode est envisagée; elle utilise bien sûr des techniques de discrétisation et d’approximation d’un opérateur différentiel par un opérateur aux différences finies. Cette ACLL est exploitée sur un exemple qui montre sa pertinence.
Dans la mesure où le premier couple \((u_ 0, v_ 0)\) de facteurs canoniques de l’ACL existe, les auteurs montrent que, sous certaines conditions, le premier couple \((u_ \alpha, v_ \alpha)\) de facteurs canoniques obtenu au moyen de l’ACLL avec pénalisation \(\alpha\) converge vers \((u_ 0, v_ 0)\) lorsque \(\alpha\) tend vers 0.

MSC:
62H20 Measures of association (correlation, canonical correlation, etc.)
60G12 General second-order stochastic processes
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