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Artin functions and germs of curves drawn on an analytic space germ. (Fonction de Artin et germes de courbes tracées sur un germe d’espace analytique.) (French) Zbl 0804.32006
Nach Artin läßt sich jede näherungsweise hinreichend gute polynomiale Lösung eines analytischen Gleichungssystems zu einer exakten analytischen Lösung – bei etwas Umbau – ergänzen. Die hier auftretende Existenzaussage samt Beweis ist mehr platonischer Natur, also außer in einfacheren Fällen bisher nicht effektiv berechenbar. Die vorliegende Arbeit ist der Anfang (nach dem Autor) eines Versuches zu präziseren Antworten, zunächst in nicht zu engen Sonderfällen. Dabei verallgemeinert und präzisiert die Arbeit etwas eine ähnliche Arbeit von M. Lejeune-Jalabert [Am. J. Math. 112, No. 4, 525-568 (1990; Zbl 0743.14002)]. Etwas genauer: Ist \(I\) ein Ideal analytischer Funktionskeime, so gibt es zu jedem \(i \in \mathbb{N}\) ein kleinstes \(\beta (i) \in \mathbb{N}\) mit der Eigenschaft: Zu jeder bis zur Ordnung \(\beta (i)\) näherungsweisen Lösung \(p\) von \(I(:I \circ p = 0 \text{mod} 0^{\beta (i)})\) gibt es eine exakte Lösung \(q(I \circ q \equiv 0)\), die mit \(p\) bis zur Ordnung \(i\) übereinstimmt. Die Berechnung, wenigstens Abschätzung dieser sog. Artin-Funktion ist das Problem. In der vorliegenden Arbeit wird ein gewisser Reduktionsprozeß versucht für den Fall, daß \(I\) ein komplex-analytisches Hauptideal ist: Ist \(\tilde I\) das zugehörige Jakobi-Ideal (das mit der Singularitätenmenge von \(I\) zuammenhängt) und \(\beta\) die Artinfunktion von \(I\), \(\tilde \beta\) jene von \(\tilde I\), so wird gezeigt, daß \(\beta (i) \leq \tilde \beta (i) + i\) \(\forall i\). Das Verfahren läßt sich leider (noch) nicht fortsetzen, da \(\tilde I\) - - zwar von niedrigerer Dimension als \(I\) – i.a. kein Hauptideal ist. Lediglich im Falle \(\dim \tilde I = 0\) erhält man für \(\beta\) über \(\tilde \beta\) eine einfach berechenbare Abschätzung (Lejeune-Jalabert als Spezialfall).
Eine mehr geometrische Variante für semianalytische Mengen hat der Referent in Math. Ann. 177, Bd. 1, Heft 2, 54-66 (1968; Zbl 0195.094) bewiesen ohne Tougeron oder Artin-Rees. [Vgl. auch der Referent, Math. Ann. 227, 277-286 (1977; Zbl 0346.32038) für Verwandtes]. Die Beweis- Schritte sind im Kurvenfall i.w. “konstruktiv” und liefern in Spezialfällen Präziseres. Im Funktionenfall kommt erst gegen Beweis- Ende der platonische Artin-Rees ins Spiel. Versuche zu wirklich konstruktivem Vorgehen in nicht zu einfachen Spezialfällen scheiterten. Der Referent verlor damit das Interesse am Problem. Vgl. dessen Arbeiten auch für weitere Probleme im gleichen Kontext. Vielleicht bringen neuere Arbeiten, wie diese, den erhofften allgemeinen Erfolg.
Reviewer: K.Spallek (Bochum)

MSC:
32B05 Analytic algebras and generalizations, preparation theorems
32S20 Global theory of complex singularities; cohomological properties
26B10 Implicit function theorems, Jacobians, transformations with several variables
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