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Weighted limit theorem for the Riemann zeta-function. (English. Russian original) Zbl 0805.11061
Lith. Math. J. 32, No. 3, 291-296 (1992); translation from Liet. Mat. Rink. 32, No. 3, 369-376 (1992).
Der Verf. überträgt einen Satz über die schwache Konvergenz eines durch \(\zeta(s)\) definierten Wahrscheinlichkeitsmaßes [vgl. A. Laurinčikas, Probab. Theory Math. Stat. 2, 59-69 (1990; Zbl 0733.11030)] auf ein Maß \(\mu_{T, w, \sigma}\), das auf der Menge der Borelschen Mengen von \(\mathbb{C}\) definiert ist. Dabei ist \(w\) eine auf \([T_ 0,\infty)\) mit \(T_ 0>0\) positive und monoton fallende Gewichtsfunktion mit \(U(T,w) : = \int^ T_{T_ 0} w(t) dt \to \infty\) \((T \to \infty)\).
Für \(\sigma>{1 \over 2}\) zeigt der Verf. die Existenz eines Wahrscheinlichkeitsmaßes \(\mu_{w,\sigma}\), so daß \(\mu_{T,w,\sigma}\) schwach gegen \(\mu_{w,\sigma}\) für \(T \to \infty\) konvergiert. Der Beweis beruht auf der für \(u,v \in J\) bei beliebigem endlichen Intervall \(J\) gleichmäßigen Konvergenz der charakteristischen Funktionen \[ {1 \over U(T,w)} \int^ T_{T_ 0} w(t) \exp \bigl( iu \text{Re} p_ n(t) + iv \text{Im} p_ n(t) \bigr) dt \quad \text{für} \quad T \to \infty. \] Dabei ist \(p_ n (t)\) ein verallgemeinertes trigonometrisches Polynom der Ordnung \(n\).
Reviewer: W.Haneke (Marburg)

MSC:
11M06 \(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)
60F99 Limit theorems in probability theory
Citations:
Zbl 0733.11030
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI
References:
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