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Hasse principle and weak approximation for pencils of Severi-Brauer and similar varieties. (English) Zbl 0805.14010
Soient \(k\) un corps de nombres et \(\mathbb{P}^ 1_ k\) la droite projective sur \(k\). Soit \(X\) une \(k\)-variété algébrique propre, intègre et lisse, équipée d’un \(k\)-morphisme dominant \(p:X\to\mathbb{P}^ 1_ k\). Supposons que la fibre générique de \(p\) est une “variété de Severi-Brauer généralisée” (par exemple un produit de variétés de Severi-Brauer, ou encore une quadrique lisse de dimension 2). Dans cet article, nous nous intéressons à des problèmes de type local-global sur \(X\) (l’existence sur \(X\) de certaines données localement, i.e. après passage à chaque complété du corps de nombres \(k\), implique-t-elle l’existence de telles données globales sur \(X\)?). Les principaux résultats sont les suivants.
(i) Sous l’hypothèse (H) de Schinzel, l’obstruction de Brauer-Manin au principe de Hasse pour l’existence de points rationnels sur \(X\) est la seule obstruction. De même, sous (H), l’obstruction de Brauer-Manin à l’approximation faible est la seule. Il s’agit là d’une généralisation de résultats de J.-L. Colliot-Thélène et J.-J. Sansuc [Acta Arith. 41, 33-53 (1982; Zbl 0414.10009)] et de résultats plus récents de H. P. F. Swinnerton-Dyer [J. Lond. Math. Soc., (sous presse)] et J.-P. Serre.
(ii) De façon inconditionnelle, l’obstruction de Brauer-Manin au principe de Hasse pour l’existence de 0-cycles de degré 1 sur \(X\) est la seule obstruction.
(iii) Nous donnons une condition suffisante pour qu’une famille de 0- cycles locaux de degré 0 sur \(X\) soit simultanément approchée, modulo une relation d’équivalence naturelle sur les 0-cycles, par un 0- cycle global de degré 0 sur \(X\).
Les énoncés (ii) et (iii) sont des généralisations des résultats de P. Salberger [Invent. Math. 91, No. 3, 505-524 (1988; Zbl 0688.14008)]pour les surfaces fibrées en coniques sur la droite projective.
(iv) Pour les surfaces fibrées en coniques sur le corps des rationnels, nous montrons que l’obstruction au principe de Hasse récemment définie par le second auteur [J. Lond. Math. Soc. (sous presse)] est en fait équivalente à l’obstruction de Brauer-Manin. La démonstration que nous donnons de ces résultats utilise un nouveau point de vue sur l’obstruction de Manin (considération de classes d’algèbres simples centrales ramifiées sur le corps des fonctions d’une variété) apparu dans un travail de D. Harari [Duke Math. J. 75, No. 1, 221- 260 (1994)].

MSC:
14G25 Global ground fields in algebraic geometry
14G05 Rational points
14C25 Algebraic cycles
11G35 Varieties over global fields
14F22 Brauer groups of schemes
14C05 Parametrization (Chow and Hilbert schemes)
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Full Text: DOI Crelle EuDML