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Kuroda’s class number formula. (English) Zbl 0807.11052
Sei \(k\) ein algebraischer Zahlkörper und \(K/k\) eine abelsche, nicht- zyklische Erweiterung 4. Grades. Seien \(k_ 1\), \(k_ 2\) und \(k_ 3\) die quadratischen Zwischenkörper von \(K/k\). Dann besteht eine Klassenzahlrelation \[ h(K)= q(K/k) h(k_ 1) h(k_ 2) h(k_ 3)/ h(k)^ 2 \] mit einem mittels Einheiten- und Verzweigungsindizes explizit gegebenen und universell abzuschätzenden Faktor \(q(K/k)\). Der Autor gibt für diese Formel einen klassenkörpertheoretischen Beweis ohne Verwendung analytischer Methoden (solche Beweise waren bisher nur in Spezialfällen bekannt). Außerdem zeigt er, daß der von C. D. Walter [Acta Arith. 35, 41-51 (1979; Zbl 0401.12010)] angegebene Wert von \(q(K/k)\) nicht in allen Fällen korrekt ist.

MSC:
11R29 Class numbers, class groups, discriminants
11R16 Cubic and quartic extensions
Citations:
Zbl 0401.12010
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Full Text: DOI EuDML