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Deformation of an isolated singularity of a hypersurface and Bernstein polynomials. (Déformation d’une singularité isolée d’hypersurface et polynômes de Bernstein.) (French) Zbl 0807.32027
Summary: We study the Bernstein polynomial of a family \((W_ y)_{y \in Y}\) of hypersurfaces of \(\mathbb{C}^ n\) with isolated singularities when the family is parametrized by a smooth space \(Y\) and defined by an holomorphic mapping \(F\) on \(\mathbb{C}^ n \times Y\). We show that the partition defined by the Bernstein’s polynomial \(b_ y\) of the fiber \(W_ y\) of the parameter space \(Y\) is locally finite and “constructible”.
We prove the existence of a generic Bernstein polynomial which coincide with the Bernstein polynomial of the generic fiber.
In the particular case where the family \((W_ y)_{y \in Y}\) has a constant Milnor number we establish the existence of a “good operator in \(s\)” in the ring of the relative differential operators which are polynomials in \(s\), nullifying \(F^ s\); and the existence of a “relative” Bernstein polynomial.

MSC:
32S25 Complex surface and hypersurface singularities
14J17 Singularities of surfaces or higher-dimensional varieties
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI Numdam EuDML
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