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On the \(l\)-adic cohomology of Siegel threefolds. (English) Zbl 0810.11034
L’auteur s’intéresse à la cohomologie \(l\)-adique des variétés modulaires de Siegel et montre en particulier que les résultats bien connus sur les représentations de \(\text{Gal} (\overline{\mathbb{Q}}/ \mathbb{Q})\) données par la cohomologie \(l\)-adique des variétés de Shimura en dimension 2 se généralisent pour partie en dimension supérieure: depuis les travaux d’Eichler, Shimua et Deligne sur les courbes modulaires elliptiques et ceux de H. Carayol sur les courbes de Shimura [Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., IV. Ser. 19, 409-468 (1986; Zbl 0616.10025)], on sait en effet dans ce cas que le Frobenius satisfait une “relation de congruence” de degré 2 ce qui, joint du fait que son déterminant peut être calculé, permet de déterminer le polynôme caractéristique associé et finalement la représentation galoisienne.
En dimension supérieure cependant, la connaissance du déterminant et d’une telle “relation de congruence” ne donne pas le polynôme caractéristique et c’est seulement la comparaison suggérée par Langlands entre les formules de trace de Lefschetz et d’Arthur qui a permis en fin de compte de décrire le caractère de la représentation galoisienne pour des variétés modulaires de Hilbert ou des variétés de Shimura associées à des groupes unitaires en trois variables.
L’auteur considère donc ici le cas des variétés modulaires de Siegel et étudie la multiplicité des racines de la “relation de congruence” en liaison avec les nombres de Hodge-Tate de la représentation galoisienne. Son résultat principal (théorème 1) montre, qu’en dehors d’un ensemble de premiers de densité de Dirichlet nulle, trois cas (et probablement deux) seulement peuvent se produire. L’idée essentielle de la preuve consiste à observer que l’existence d’une “relation de congruence” montre que la représentation galoissienne est “petite” tandis que l’occurrence de quatre nombres de Hodge-Tate force au contraire l’image de \(\text{Gal} (\overline {\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\) à être “grande”.
Les deux dernières sections de l’article présentent enfin divers compléments au théorème principal. L’auteur y améliore en particulier des résultats antérieurs sur les formes modulaires de Siegel de poids faible [Duke Math. J. 63, 281-332 (1991; reviewed above)].

MSC:
11F46 Siegel modular groups; Siegel and Hilbert-Siegel modular and automorphic forms
14J40 \(n\)-folds (\(n>4\))
14G35 Modular and Shimura varieties
14F30 \(p\)-adic cohomology, crystalline cohomology
14J30 \(3\)-folds
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Full Text: DOI EuDML
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