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Modular forms and Galois representations taking values in a complete local ring. (Formes modulaires et représentations galoisiennes à valeurs dans un anneau local complet.) (French) Zbl 0812.11036
Mazur, Barry (ed.) et al., \(p\)-adic monodromy and the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture. A workshop held August 12-16, 1991 in Boston, MA, USA. Providence, RI: American Mathematical Society. Contemp. Math. 165, 213-237 (1994).
L’auteur étudie d’abord les représentations d’une algèbre qui sont à valeurs dans l’algèbre des matrices sur un anneau local \(A\) et se réduisent modulo l’idéal maximal en une représentation absolument irréductible. Il montre qu’elles sont déterminées à équivalence près par leur caractère (théorème 1), et, lorsque \(A\) est henselien, qu’elles satisfont en outre des propriétés “à la Schur” (théorème 2).
Dans une seconde partie, il utilise les résultats ainsi obtenus pour attacher de façon univoque des représentation galoisiennes aux formes modulaires (normalisées, vecteurs propres des opérateur de Hecke) à valeurs dans des anneaux locaux complets (théorème 3). Du point de vue arithmétique, une telle forme est un homomorphisme \(\mathbb{T}\to A\) sur l’algèbre de Hecke \(\mathbb{T}= \mathbb{T}_{k,N}\) pour les formes de poids \(k\) et de niveau \(N\) et, si \(m\) est un idéal de \(\mathbb{T}\) tel que la représentation galoisienne résiduelle associée soit absolument irréductible, tout revient ainsi à construire une représentation universelle: \(\rho_ m^{\text{univ}} |\text{Gal} (\overline {\mathbb{Q}}/ \mathbb{Q})\to \text{GL}_ 2 (\mathbb{T}_ m)\), òu \(\mathbb{T}_ m\) est le complété de \(\mathbb{T}\) en \(m\).
Dans une troisième section enfin, on considère la cohomologie \({\mathcal H}= {\mathcal H}_{k,N}\) \((k\geq 2)\) des courbes modulaires \(X_ 1(N)\) à valeurs dans les \(\mathbb{Z}_ \ell\)-faisceaux habituels pour comparer les \(\mathbb{T}_ m [\text{Gal} (\overline {\mathbb{Q}}/ \mathbb{Q})]\)-modules donnés par \(\rho_ m^{\text{univ}}\) et \({\mathcal H}_ m={\mathcal H}\otimes_ \mathbb{T} \mathbb{T}_ m\) pour un idéal maximal \(m\) de \(\mathbb{T}\) de caractéristique résiduelle \(\ell\) (théorème 4). Comme corollaire, il retrouve en particulier le résultat de semi-simplicité de \(({\mathcal H}\otimes \mathbb{F}_ \ell )_{[m]}\) obtenu par N. Boston, H. W. Lenstra et K. A. Ribet [C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I. 312, 323-328 (1991; Zbl 0718.16018)] (théorème 5).
For the entire collection see [Zbl 0794.00016].

MSC:
11G18 Arithmetic aspects of modular and Shimura varieties
11F80 Galois representations
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