×

zbMATH — the first resource for mathematics

Illumination bodies and affine surface area. (English) Zbl 0813.52007
Ideen von W. Blaschke und dem Referenten folgend hat Verf. zusammen mit C. Schütt für einen beliebigen konvexen Körper \(K\) des \(\mathbb{R}^ n\) eine Affinoberfläche \(as(\partial K)\) mittels des Grenzwerts \(\lim_{\delta\to 0} c_ n {{V(K)- V(K_ \delta)} \over {\delta^{2/(n+1)}}}\) definiert, wobei \(c_ n:= 2({{\omega_{n-1}} \over {n+1}})^{2/(n+1)}\) \((\omega_{n-1}=\) Volumen der \((n-1)\)- dimensionalen Einheitskugel) ist und \(K_ \delta\) den konvexen “Auftriebskörper” von \(K\) zum Volumen \(\delta>0\) bedeutet [C. Schütt und die Autorin, Math. Scand. 66, No. 2, 275-290 (1990; Zbl 0739.52008)]. Eine Frage von E. Calabi beantwortend wird nun gezeigt, daß dual hierzu \(as (\partial K)\) auch durch den Grenzwert \(\lim_{\delta\to 0} d_ n {{V(K^ \delta)- V(K)} \over {\delta^{2/ (n+1)}}}\) mit \(d_ n:=2 ({{\omega_{n-1}} \over {n(n+1)}})^{2/ (n+1)}\) definiert werden kann, wobei \(K^ \delta:= \{x\in \mathbb{R}^ n\); \(V(\text{conv} \{K,x\} \setminus K)\leq \delta\}\) den (konvexen) “Beleuchtungskörper” von \(K\) zum Volumen \(\delta\) bedeutet.

MSC:
52A38 Length, area, volume and convex sets (aspects of convex geometry)
52A30 Variants of convex sets (star-shaped, (\(m, n\))-convex, etc.)
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML