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On the approximation of certain infinite products. (English) Zbl 0818.11028
Es wird das unendliche Produkt \(f(z)= \prod_{n=1}^ \infty (1+ {z\over {q^ n}})\) betrachtet, wobei \(q\) eine algebraische Zahl mit \(| q|>1\) ist. Ist \(\mathbb{K}\) ein algebraischer Zahlkörper, so wird gezeigt, daß unter bestimmten Bedingungen an \(q\) aus \(\alpha\in \mathbb{K}\) \(f(\alpha)\not\in \mathbb{K}\) folgt. Für diese Zahlen werden Approximationsmaße sowohl im archimedischen als auch im nichtarchimedischen Fall angegeben. Entsprechende Ergebnisse werden für Zahlen der Form \(f(\alpha_ 2)/ f(\alpha_ 1)\) angegeben, ferner wird die simultane Approximation von gewissen Werten des unendlichen Produktes betrachtet.
Zum Beweis wird wesentlich die Entwicklung von \(f\) in eine Newtonsche Interpolationsreihe benutzt. Die Arbeit hat viele Vorgänger, zuletzt verallgemeinert sie Ergebnisse von A. Yu. Popov [Mosc. Univ. Math. Bull. 45, No. 6, 4-6 (1990); translation from Vestn. Mosk. Univ., Ser. I 1990, No. 6, 3-6 (1990; Zbl 0722.11036)].

MSC:
11J82 Measures of irrationality and of transcendence
11J72 Irrationality; linear independence over a field
11J61 Approximation in non-Archimedean valuations
11J13 Simultaneous homogeneous approximation, linear forms
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Full Text: DOI EuDML