×

zbMATH — the first resource for mathematics

Differential equations on complex manifolds. (English) Zbl 0818.35003
Mathematics and its Applications (Dordrecht). 276. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. xii, 504 p. (1994).
Les idées à l’origine de cet ouvrage sont contenues dans les papiers classiques de Jean Leray. Le but invoqué par les auteurs est l’étude des équations aux dérivées partielles dans le domaine complexe. Leur travail expose une théorie de ces équations. Ils divisent cette théorie en trois parties:
1) le problème de Cauchy pour les opérateurs différentiels de partie principale à coefficients constants pour lesquelles ils utilisent une transformation intégrale des fonctions ramifiées qui permet de trouver le support singulier des solutions et leur comportement près de ce support;
2) l’étude des propriétés asymptotiques, du point de vue de la régularité, des solutions des équations à coefficients variables; leur outil est une transformation intégrale de Laplace-Radon;
3) l’application de ces techniques à l’ellipticité, la gravitation, la diffraction, la propagation des ondes électromagnétique, la mécanique quantique etc...
Le plan détaillé est, en bref, le suivant. Le chapitre I expose une théorie des résidus à plusieurs variables complexes et rappelle les résultats de Leray. Le chapitre II étudie, dans le cas complexe, les structures symplectiques et de contact, la transformation de Legendre. Le chapitre III est central; les auteurs y introduisent leur transformation intégrale des fonctions intégrals. Le chapitre IV généralise asymptotiquement cette transformation par l’usage d’opérateurs intégraux de Laplace-Radon. Le chapitre V applique ces transformations à l’étude de problème de Cauchy caractéristique ou non, à coefficients constants, puis variables, avec des hypothèses qui leur permettent d’obtenir des résultats globaux. Le chapitre VI étudie les applications: balayage etc...
Les auteurs exposent, vigoureusement et de façon agréable à lire, leur point de vue qui est stimulant pour la recherche dans ce domaine; la riche bibliographie donne une vue suffisamment complète des résultats classique et récent pour permettre au lecteur de faire les relations utiles.
Reviewer: J.Vaillant (Paris)

MSC:
35-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to partial differential equations
35A22 Transform methods (e.g., integral transforms) applied to PDEs
35A20 Analyticity in context of PDEs
35J45 Systems of elliptic equations, general (MSC2000)
35L25 Higher-order hyperbolic equations
PDF BibTeX XML Cite