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\(W^{2,p}\)-solvability of the Dirichlet problem for nondivergence elliptic equations with VMO coefficients. (English) Zbl 0818.35023
Mit dem Mittelwert \(f_ B = {1 \over | B |} \int_ B f(x)dx\) für \(f \in L^ 1_{ \text{loc}} (\mathbb{R}^ n)\) und die Kugel \(B \subset \mathbb{R}^ n\) mit \(L - B\)-Maß \(| B |\) sei \[ \| f \|_ x = \sup_ B {1 \over | B |} \int_ B \bigl | f(x) - f_ B \bigr | dx \] gesetzt. Die Funktionen \(f\) mit \(\| f \|_ x < \infty\) bilden den Banach-Raum BMO (bounded mean oscillation) von John-Nirenberg. Man definiert für \(f \in \text{BMO}\) und \(r > 0\) dann \[ \eta (r) = \sup_{\rho \leq r} {1 \over | B |} \int_ B \bigl | f(x) - f_ B \bigl | dx, \] wobei \(B\) in der Menge aller Kugeln \(B \subset \mathbb{R}^ n\) mit Radius \(\rho < r\) variiert. Die Funktionen \(f \in \text{BMO}\) bilden den Unterraum VMO (vanishing mean oscillation) von Sarason, wenn \(\lim_{r \downarrow 0} \eta (r) = 0\) gilt. Die Verfasser untersuchen das Dirichlet Problem \(Lu = f\) f.ü. in \(\Omega \subset \mathbb{R}^ n\), \(u = 0\) auf \(\partial \Omega\) mit Koeffizienten aus \(\text{VMO} \cap L^ \infty (\mathbb{R}^ n)\). Für \(u\) in der Klasse \(W^{2,p} (\Omega) \cap W_ 0^{1,p} (\Omega)\) werden Abschätzungen hergeleitet sowie Eindeutigkeit und Existenz gezeigt.

MSC:
35J25 Boundary value problems for second-order elliptic equations
35A05 General existence and uniqueness theorems (PDE) (MSC2000)
35B45 A priori estimates in context of PDEs
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