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The analytic Radon transform of codimension 1. (La transformation de Radon analytique en codimension 1.) (French) Zbl 0819.53035

La transformation de Radon est classiquement définie sur les fonctions de \(\mathbb{R}^ n\) ou \(\mathbb{C}^ n\) par leur intégration sur les sous- espaces affines de ces espaces. S. Gindikin et G. Henkin ont défini la transformation de Radon pour les formes différentielles \(d''\)-fermées de type \((n,q)\) sur certains ouverts \(Y\) de \(\mathbb{P}_ n (\mathbb{C})\); pour \(q=n-1\), on en rappelle la construction.
Soit \(\mathbb{C}^{n+1}\) muni de sa base canonique, \((\mathbb{C}^{n+1})'\) son dual muni de la base duale; pour tout \(z= (z^ 0, \dots, z^ n)\in \mathbb{C}^{n+1}\) et \(\zeta= (\zeta_ 0, \dots, \zeta_ n)\in (\mathbb{C}^{n+1} )'\), on pose \(\langle \zeta, z\rangle= \zeta_ 0 z^ 0+ \dots+ \zeta_ n z^ n\). Soient \(\xi, \eta\in (\mathbb{C}^{n+1}- \{0\})'\), on note \(\xi\) (respectivement \(\check\eta\)) l’hyperplan de \(\mathbb{P}_ n (\mathbb{C})\) d’équation homogène \(\langle \check\xi, z\rangle =0\) (respectivement \(\langle \eta, z\rangle= 0\)) et \({\eta \over \xi}\) la fonction méromorphe de pôle \(\check\xi\) induite sur \(\mathbb{P}_ n (\mathbb{C})\) par l’application: \(z\mapsto {{\langle \eta, z\rangle} \over {\langle\xi, z\rangle}}\).
Si \(\psi\) est une forme différentielle \(d''\)-fermée de type \((n, n- 1)\) sur \(Y\), on définit sa transformée de Radon notée \({\mathcal R}_ \psi\) de la façon suivante: \[ {\mathcal R}_ \psi (\xi, \eta)= \int_{\check\xi} \text{Res}_{\check\xi} \biggl( \psi\cdot {\eta\over \xi} \biggr) \] où \(\text{Res}_{\check\xi} (\psi\cdot {\eta\over \xi})\) est le résidu au sens de Leray de la forme différentielle semi-méromorphe \((\psi\cdot {\eta\over\xi})\) de pôle \(\check\xi\). Cette transformation définit une section de fibré au-dessus d’un espace de drapeaux \(D=\{( \check\xi, \widetilde {\xi})\in C^ 1_{n-1} (Y)\times C^ 1_{n-2} (Y)\); \(\widetilde {\xi} \subset \check\xi\}\), \(C^ 1_ q (Y)\) désignant l’espace des \(q\)-plans de \(\mathbb{P}_ n (\mathbb{C})\) contenus dans \(Y\).
Cette transformation invariante est bien adaptée au cas de l’espace projectif complexe et de ses hyperplans. Dans cet article, nous allons la généraliser au cas d’une variété analytique complexe \(Y\) (ayant certaines propriétés de convexité-concavité) et à ces cycles analytiques de codimension 1.
Certains des résultats de cet article ont été annoncés [C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 307, No. 9, 443-446 (1988; Zbl 0668.44005); Proc. Symp. Pure Math. 52, Part 2, 403-412 (1991; Zbl 0749.32023); C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 314, No. 7, 511-516 (1992; Zbl 0756.32011)]. On se borne ici au cas de diviseurs effectifs d’une variété analytique complexe. La transformation de Radon dans le cadre des cycles de dimension quelconque fera l’objet d’un article ultérieur.

MSC:

53C65 Integral geometry
44A12 Radon transform
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Full Text: Numdam EuDML

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