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Representation measures on biharmonic spaces. Partially reprinted from the journal Potential Analysis 3, No. 1 (1994). (Mesures de représentation sur les espaces biharmoniques.) (French) Zbl 0824.31006

Bertin, Emile, ICPT ’91. Proceedings from the international conference on potential theory, Amersfoort, The Netherlands, August 18-24, 1991. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. 171-178 (1994).
Soient \((X,H)\) un espace biharmonique et \((X, H^{(i)})\), \(i=1,2\), les 2 espaces harmoniques qui lui sont associés. On peut munir \((X,H)\) d’une mesure de représentation \(\sigma\) au sens de Maeda: pour chaque ouvert \(U\) de \(X\), \(\sigma_ U\) est un homomorphisme de l’ensemble \(R(U)\) des couples \((s_ 1, s_ 2)\) de fonctions continues sur \(U\) qui sont, localement, différence de 2 fonctions surharmoniques relativement à \((X, H^{(i)})\) \((i= 1,2)\), dans celui \(M(U)\) des couples de mesures de Radon signées sur \(U\), tel que \(\sigma_ U (s_ 1, s_ 2)\geq 0 \Leftrightarrow (s_ 1, s_ 2)\) est un couple surharmonique sur \(U\).
L’auteur montre: qu’il existe une mesure de Radon \(\lambda \geq 0\) sur \(X\) telle que \[ \sigma_ U (s_ 1, s_ 2)= \bigl( \sigma_ U^{(1)} (s_ 1)- s_ 2 \lambda, \sigma_ U^{(2)} (s_ 2) \bigr), \] où \(\sigma^{(i)}\) est une mesure de représentation sur \((X, H^{(i)})\); puis, en supposant l’espace biharmonique elliptique et fort, que, pour tout couple potentiel \((p_ 1, p_ 2)\) sur \(U\), \(\sigma_ U (p_ 1, p_ 2)\) coïncide avec le couple de mesure de Radon \(\geq 0\) trouvé par E. Smyrnélis [Bull. Cl. Sci., V. Ser., Acad. R. Belg. 71, 383-394 (1985; Zbl 0656.31016)] dans la représentation intégrale de \((p_ 1, p_ 2)\).
For the entire collection see [Zbl 0791.00022].

MSC:

31D05 Axiomatic potential theory
31C05 Harmonic, subharmonic, superharmonic functions on other spaces
31B30 Biharmonic and polyharmonic equations and functions in higher dimensions

Citations:

Zbl 0656.31016
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