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Singularities of Hilbert moduli spaces in characteristics dividing the discriminant. (Singularités des espaces de modules de Hilbert, en les caractéristiques divisant le discriminant.) (French) Zbl 0826.14027
Soient \(K\) un corps de nombres totalement réel de degré \(g\) et \(R\) l’anneau de ses entiers. Le but de cet article est de définir l’espace de modules \({\mathcal M}\) des variétés abéliennes de dimension \(g\), à multiplication par \(R\), munies de données auxiliaires. Cet espace \({\mathcal M}\) est un schéma sur \(\text{Spec} (\mathbb{Z} [\zeta_n] [1/n])\) et contient comme ouvert dense l’espace de modules \({\mathcal M}^R\) défini précédemment par M. Rapoport. A la différence de \({\mathcal M}^R\), l’espace \({\mathcal M}\) admet une compactification toroïdale \(\overline {\mathcal M}\) qui est propre sur \(\text{Spec} (\mathbb{Z} [\zeta_n] [1/n])\), par contre \(\overline {\mathcal M}\) n’est pas lisse et les auteurs déterminent ses singularités, en particulier ils montrent que les fibres de \({\mathcal M} \to \text{Spec} (\mathbb{Z} [\zeta_n] [1/n])\) sont normales. Les auteurs en déduisent en toute caractéristique, le problème venant des caractéristiques \(p\) divisant le discriminant \(\Delta\) de \(K\) sur \(\mathbb{Q}\), l’irréductibilité des fibres géométriques de \(\overline {\mathcal M}\), donc de \({\mathcal M}^R\). – Si \(L\) est un \(R\)-module inversible “positif”, il est possible de définir “un schéma abélien à multiplication réelle par \(R\), \(L\)-polarisé et muni d’une structure de niveau \(n\)” et de considérer l’espace de modules associé \({\mathcal M}^L_n\). L’espace \({\mathcal M}\) cherché est une composante connexe de \({\mathcal M}^L_n\) pour \(L\) égal à la différente inverse \(D^{- 1}\) de \(R\) sur \(\mathbb{Z}\). Les auteurs obtiennent alors le résultat suivant:
Soit \(\Delta\) le discriminant de \(R\) sur \(\mathbb{Z}\). Le schéma \({\mathcal M}^L_n\) est lisse au dessus de \(\text{Spec} (\mathbb{Z} [1/n \Delta])\), plat d’intersection complète relative au-dessus de \(\text{Spec} (\mathbb{Z} [1/n])\) et, pour \(p\) premier à \(n\) divisant \(\Delta\), le lieu de non lissité de \({\mathcal M}^L_n\) en caractéristique \(p\) est de codimension 2 dans la fibre de caractéristique \(p\).
Pour avoir ce résultat, il faut étudier localement l’espace des modules \({\mathcal M} = {\mathcal M}^L_n\) au voisinage d’un point \(x\). Il existe un morphisme naturel de \({\mathcal M}\) dans un sous-schéma fermé \({\mathcal N}\) d’une grassmannienne convenable définie grâce au \({\mathcal O} \otimes R\)-module \(H_1^{\text{DR}} (A/{\mathcal M})\), où \(A\) est le schéma abélien universel sur \({\mathcal M}\). En utilisant la théorie cristalline des déformations on peut montrer que ce morphisme \({\mathcal M} \to {\mathcal N}\) est étale en \(x\). Il suffit alors de montrer le résultat pour le schéma \({\mathcal N}\). En utilisant la même méthode, il est possible d’étudier les singularités d’espaces formels de modules dans d’autres cas.
Reviewer: M.Vaquie (Paris)

MSC:
14K10 Algebraic moduli of abelian varieties, classification
14F30 \(p\)-adic cohomology, crystalline cohomology
14D20 Algebraic moduli problems, moduli of vector bundles
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Full Text: Numdam EuDML
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