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Equisingular unfoldings of foliations by curves. (English) Zbl 0826.32026
Camacho, C. (ed.) et al., Complex analytic methods in dynamical systems. Proceedings of the congress held at Instituto de Matemática Pura e Aplicada, IMPA, Rio de Janeiro, Brazil, January 1992. Paris: Société Mathématique de France, Astérisque. 222, 285-302 (1994).
Sei \(M\) eine \(n\)-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit. Eine Kurvenblätterung auf \(M\) ist eine lokal-freie Untergabe \(F\) der Garbe \(\Theta_M\) der holomorphen Vektorfelder auf \(M\) vom Rang 1. Die zugehörige volle Garbe \(\widetilde {F}\), die sogenannte Saturation, ist ebenfalls lokal-frei, also eine Blätterung in diesem Sinne. Die entsprechende Aussage ist für Blätterungen höherer Dimension falsch, entgegen der Behauptung der Autoren.
Sei \(M\) kompakt und \(F\) eine Kurvenblätterung auf \(M\). Die Autoren führen den Begriff des Keimes einer lokal trivialen Entfaltung von \(F\), parametrisiert durch einen komplexen Raumkeim, ein. Solche Entfaltungen werden in Beziehung gesetzt zu Familien komplexer Strukturen auf \(M\). Unter Benutzung von Methoden der Deformationstheorie komplexer Strukturen beweisen die Autoren das folgende Theorem:
Es existiert ein komplexer Raumkeim, der eine verselle lokal-triviale Entfaltung von \(F\) parametrisiert.
Im letzten Teil der Arbeit setzen die Autoren voraus, daß \(\dim M = 2\) und \(F\) voll ist. Sie führen den Begriff der equisingulären Entfaltung ein. In Fortsetzung von Ergebnissen des ersten Autors zeigen sie die Existenz eines komplexen Raumkeimes, der eine verselle equisinguläre Entfaltung von \(F\) parametrisiert.
Folgerungen aus Kohomologiebedingungen, insbesondere über die Glattheit des Parameterraumes, schließen sich an. Außerdem wird eine Folgerung für Blätterungen auf \(\mathbb{C}^2\) angegeben, welche durch ein Polynomvektorfeld mit isolierter Singularität in 0 definiert werden.
For the entire collection see [Zbl 0797.00019].

MSC:
32S65 Singularities of holomorphic vector fields and foliations
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