Representation of measures by additive functionals between two times. (Représentation des mesures par des fonctionnelles additives entre deux temps.) (French) Zbl 0828.60053

Fourati, S.

Ann. Inst. Henri Poincaré, Probab. Stat. 31, No. 3, 527-544 (1995).

Le but de cette note est d’établir qu’étant donné un processus de Markov \(X\), et pour certains intervalles stochastiques \(\mathbb{I}\), on peut associer à toute mesure \(\mu\) sur l’espace d’états, qui ne charge pas les ensembles “\(\mathbb{I}\)-polaires”, une “fonctionnelle additive droite” \(B\) essentiellement unique, vérifiant l’égalité \(\forall f\), \(\mu (f) = \mathbb{E} [\int_\mathbb{I} f(X_s) dB_s]\). En application, nous en déduirons l’inégalité suivante \[ \mathbb{E}^a [L^a_T] \leq {1 \over e - 1} \min_{0 < \lambda < + \infty} \left\{ {1 + \lambda \mathbb{E}^a [T] + {\lambda^2 \over 2} \mathbb{E}^a [T^2] \over \psi (\lambda)} \right\}. \] \(L^a_T\) représente la valeur prise par le temps local associé à un point régulier \(a\) en un temps aléatoire \(T\) (qui n’est pas nécessairement un temps d’arrêt!) et la fonction \(\psi\) est définie par \(1/ \psi (\lambda) = \mathbb{E}^a [\int^{+ \infty}_0 e^{- \lambda s} dL^a_s]\).

MSC:

60G50	Sums of independent random variables; random walks
60J55	Local time and additive functionals

Keywords:

representation of measures; additive functionals