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Representation of measures by additive functionals between two times. (Représentation des mesures par des fonctionnelles additives entre deux temps.) (French) Zbl 0828.60053

Le but de cette note est d’établir qu’étant donné un processus de Markov \(X\), et pour certains intervalles stochastiques \(\mathbb{I}\), on peut associer à toute mesure \(\mu\) sur l’espace d’états, qui ne charge pas les ensembles “\(\mathbb{I}\)-polaires”, une “fonctionnelle additive droite” \(B\) essentiellement unique, vérifiant l’égalité \(\forall f\), \(\mu (f) = \mathbb{E} [\int_\mathbb{I} f(X_s) dB_s]\). En application, nous en déduirons l’inégalité suivante \[ \mathbb{E}^a [L^a_T] \leq {1 \over e - 1} \min_{0 < \lambda < + \infty} \left\{ {1 + \lambda \mathbb{E}^a [T] + {\lambda^2 \over 2} \mathbb{E}^a [T^2] \over \psi (\lambda)} \right\}. \] \(L^a_T\) représente la valeur prise par le temps local associé à un point régulier \(a\) en un temps aléatoire \(T\) (qui n’est pas nécessairement un temps d’arrêt!) et la fonction \(\psi\) est définie par \(1/ \psi (\lambda) = \mathbb{E}^a [\int^{+ \infty}_0 e^{- \lambda s} dL^a_s]\).

MSC:

60G50 Sums of independent random variables; random walks
60J55 Local time and additive functionals
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Full Text: Numdam EuDML