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Introduction to analytic number theory. (Einführung in die analytische Zahlentheorie.) (German) Zbl 0830.11001

Berlin: Springer-Verlag. x, 238 p. (1995).
Das vorliegende Buch schließt eine Lücke im deutschsprachigen Angebot an Einführungen in die analytischen Zahlentheorie. Die Siegelschen Vorlesungen von 1951 sind nicht im Buchhandel erhältlich gewesen, zudem hat sich in den letzten 45 Jahren auch im Bereich der klassischen analytischen Zahlentheorie einiges Neue ereignet (z.B. großes Sieb, Nullstellen-Dichtesätze). Das Büchlein von W. Schwarz über Primzahltheorie [Einführung in Methoden und Ergebnisse der Primzahltheorie (B.I. 1969; Zbl 0217.316)] ist seit etlichen Jahren vergriffen. Dem Interessenten mit Grundkenntnissen in elementarer Zahlentheorie und Funktionentheorie boten sich in der letzten Zeit vor allem die Einführung von H. Davenport [Multiplicative number theory. 2nd ed. Rev. by Hugh L. Montgomery (Springer 1980; Zbl 0453.10002)] und A. A. Karatsuba [Basic analytic number theory (Springer 1993; Zbl 0767.11001)]. In der Stoffauswahl sowie dem Ausführlichkeitsgrad ist das vorliegende Werk vor allem mit dem Erstgenannten vergleichbar. Die bei Karatsuba behandelten Themen Vinogradovscher Mittelwertsatz und Waringsches Problem sind bei Brüdern und Davenport nicht aufgenommen.
Zum Inhalt: Nach einer knappen Einführung in die Riemannsche Zeta- Funktion und die Dirichletschen \(L\)-Reihen wird der Primzahlsatz mit einem Fehlerterm \(O(x \exp(- c(\log x)^{1/ 10}))\) bewiesen. Erfreulicherweise ist auch die Landausche Anzahlabschätzung für die als Summe zweier Quadrate darstellbaren Zahlen dabei. Im zweiten Kapitel wird – mit dem Riemannschen Artikel als Leitfaden – die Zeta-Funktion weiter studiert und insbesondere der Primzahlsatz mit dem Fehlerterm \(O(x \exp(- c(\log x)^{1/2}))\) erreicht. Parallel dazu werden die \(L\)-Reihen untersucht. In den Kapiteln 4. und 5. werden die Hilfsmittel (approximate functional equation, Hilbertsche Ungleichung, großes Sieb) für die späteren Primzahlergebnisse bereitgestellt. In 6. wird aufbauend auf der Vaughanschen Identität, der Satz von Bombieri-Vinogradov sowie der Satz von Goldbach-Vinogradov zum ternären Problem ausgeführt. Das letzte Kapitel ist Nullstellen-Dichtesätzen gewidmet. Mit der Huxleyschen Abschätzung wird schließlich der Hoheiselsche Satz über Primzahlen in kurzen Intervallen mit dem Exponenten \(7/12\) bewiesen.
Gemessen an der Zielsetzung, Studenten in mittleren Semestern eine gut lesbare, bis an aktuelle Methoden heranführende Einführung zu bieten, hat der Verf. ein eindrucksvolles Programm bewältigt. Er bemüht sich mit Erfolg, dem Leser die nicht immer einfachen Schlußweisen plausibel und durchsichtig zu gestalten. In dieser Hinsicht kommt das Buch nach der Meinung des Referenten dem Leser stärker entgegen als das von Davenport. Die Aufgaben gehen zum Teil über den Charakter bloßer Übungsbeispiele hinaus, sind aber nach gründlichem Studium des Textes durchaus machbar.
Allen in allem: Ein sehr empfehlenswertes Buch, das sich als ähnlich wertvoll erweisen kann wie das Davenportsche, und dem man die große Verbreitung wünschen darf.

MSC:

11-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to number theory
11N05 Distribution of primes
11N13 Primes in congruence classes
11M06 \(\zeta (s)\) and \(L(s, \chi)\)
11P32 Goldbach-type theorems; other additive questions involving primes
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