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The two parameter ellipse problem. (English) Zbl 0830.11036
Ein wohlbekanntes Resultat besagt, daß die Anzahl der Gitterpunkte (d.h. der Punkte mit ganzzahligen Koordinaten) in der Ellipse \(x^2/ a^2+ y^2/ b^2\leq 1\) im wesentlichen gleich dem Inhalt \(\pi ab\) ist. Der auf diese Weise entstehende Fehler \(R(a,b)\) läßt für \(a\geq b\geq 1\) mit \(|R(a, b)|\leq C(ab )^{1/3}\) abschätzen, wobei \(C\) eine absolute Konstante ist. Verf. studiert das Verhalten von R\((a,b)\), wenn \(a\) und \(b\) unabhängig voneinander vergrößert werden. Sein Resultat: 1) Entfernt sich der Quotient \(a/b\) “nicht allzu stark” von einer Konstanten, so entspricht die Diskussion derjenigen im Falle \(a=b\), die bis heute nicht entschieden ist; 2) Im restlichen “Parameterbereich” besitzt \(R(a,b)\) die wahre Größenordnung \(a/ \sqrt {b}\).

MSC:
11P21 Lattice points in specified regions
11H56 Automorphism groups of lattices
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Full Text: EuDML
References:
[1] van der CORPUT J. G.: Zahlentheoretische Abschdtzungen mit Anwendungen auf Gilterpunktsprobleme. Math. Z. 17 (1913), 250-259.
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