The two parameter ellipse problem. (English) Zbl 0830.11036

Kuba, Gerald

Math. Slovaca 44, No. 5, 585-593 (1994).

Ein wohlbekanntes Resultat besagt, daß die Anzahl der Gitterpunkte (d.h. der Punkte mit ganzzahligen Koordinaten) in der Ellipse \(x^2/ a^2+ y^2/ b^2\leq 1\) im wesentlichen gleich dem Inhalt \(\pi ab\) ist. Der auf diese Weise entstehende Fehler \(R(a,b)\) läßt für \(a\geq b\geq 1\) mit \(|R(a, b)|\leq C(ab )^{1/3}\) abschätzen, wobei \(C\) eine absolute Konstante ist. Verf. studiert das Verhalten von R\((a,b)\), wenn \(a\) und \(b\) unabhängig voneinander vergrößert werden. Sein Resultat: 1) Entfernt sich der Quotient \(a/b\) “nicht allzu stark” von einer Konstanten, so entspricht die Diskussion derjenigen im Falle \(a=b\), die bis heute nicht entschieden ist; 2) Im restlichen “Parameterbereich” besitzt \(R(a,b)\) die wahre Größenordnung \(a/ \sqrt {b}\).

Reviewer: F.Fricker (Gießen)

MSC:

11P21	Lattice points in specified regions
11H56	Automorphism groups of lattices

References:

[1]	van der CORPUT J. G.: Zahlentheoretische Abschdtzungen mit Anwendungen auf Gilterpunktsprobleme. Math. Z. 17 (1913), 250-259.
[2]	FRICKER F.: Einfuhrung in die Gitterpunktlehre. Birkhauser Verlag, Basel-BostonStuttgart, 1982. · Zbl 0489.10001
[3]	HUXLEY M. N.: Exponential sums and lattice points. Proc. London Math. Soc. (3) 60 (1990), 471-502. · Zbl 0659.10057 · doi:10.1112/plms/s3-60.3.471
[4]	HUXLEY M. N.: Exponential sums and lattice points II. Proc. London Math. Soc (3) 66 (1993), 279-301. · Zbl 0820.11060 · doi:10.1112/plms/s3-66.2.279
[5]	KRÄTZEL E.: Lattice Points. Berlin, 1988. · Zbl 0675.10031