Inequalities for a certain mean value. (Ungleichungen für einen bestimmten Mittelwert.) (German) Zbl 0830.26008

Seiffert, H.-J.

Nieuw Arch. Wiskd., IV. Ser. 13, No. 2, 195-198 (1995).

Für die verschiedenen positiven Zahlen \(x\) und \(y\) seien \(G(x, y):= \sqrt{xy}\), \(A(x, y):= (x+ y)/2\), \(L(x, y):= (x- y)/(\log x- \log y)\) und \(M(x, y):= (x- y)/(4\text{ arctan}(\sqrt{x/y})- \pi)\). Mit Hilfe der drei Identitäten \[ {A(x, y)\over G(x, y)}= \sum^\infty_{n= 0} {1\over 4^n} \Biggl({2n\atop n}\Biggr)\Biggl({x- y\over x+ y}\Biggr)^{2n},\;{A(x, y)\over M(x, y)}= \sum^\infty_{n= 0} {1\over 4^n(2n+ 1)} \Biggl({2n\atop n}\Biggr) \Biggl({x- y\over x+ y}\Biggr)^{2n}, \]
\[ {A(x, y)\over L(x, y)}= \sum^\infty_{n= 0} {1\over 2n+ 1} \Biggl({x- y\over x+ y}\Biggr)^{2n} \] wird die Ungleichung \[ G(x, y) A(x, y)< L(x, y) M(x, y) \] bewiesen.

Reviewer: H.-J.Seiffert (Berlin)

MSC:

26D15

Inequalities for sums, series and integrals

Keywords:

inequalities; arithmetic mean; geometric mean; logarithmic mean; identric mean