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On the Neumann problem of linear hyperbolic-parabolic coupled systems. (English) Zbl 0834.35060
Sei \(\Omega \subset \mathbb{R}^n\) mit \(\partial \Omega= \Gamma\in C^\infty\) kompakt. Untersucht wird das Anfangs-Randwert-Problem (N) für \(\vec u= (\vec u_H, \vec u_P)\) in \([0,T ]\times \Omega\) mit: \[ \partial^2_t \vec u_H- A^2_H (t, x, \partial) \vec u_H- A^1_H (t, x, \partial) \partial_t \vec u_H- A^1_{HP} (t, x, \partial) \vec u_P= \vec f_H (t,x) \qquad \text{in }[0,T ]\times \Omega, \]
\[ A^0_P (t, x) \partial_t \vec u_P- A^2_P (t, x, \partial) \vec u_P- A^2_{PH} (t, x, \partial) \vec u_H- A^1_{PH} (t, x, \partial) \partial_t \vec u_H= \vec f_P (t, x) \;\;\text{in } [0,T ]\times \Omega, \]
\[ B^1_H (t, x, \partial) \vec u_H+ B_{HP} (t, x) \vec u_P+ B^0_H (t, x) \partial_t \vec u_H= \vec g_H (t, x) \qquad \text{auf } [0,T ]\times \Gamma, \]
\[ B^1_P (t, x, \partial) \vec u_P+ B^1_{PH} (t, x, \partial) \vec u_H+ B^0_{PH} (t, x) \partial_t \vec u_H= \vec g_P (t, x) \qquad \text{auf }[0,T ]\times \Gamma, \]
\[ \vec u_H (0,x)= \vec u_{H_0} (x), \quad \partial_t \vec u_H (0, x)= \vec u_{H_1} (x),\quad \vec u_P (0,x)= \vec u_{P_0} (x) \qquad \text{in } \Omega. \] Dabei sind \(A^i\) lineare Differentialoperatoren i-ter Ordnung die Koeffizienten aus \(C^\infty\) und beschränkt, und weitere Voraussetzungen sind z.B. \[ A^0_P (t, x)\geq c_0 I\quad(c_0> 0), \] \((A_E^{ij} (t,.) \partial_j \vec u_E, \partial_i \vec u_E)\geq \delta_1 |\vec u_E |^2_1- \delta_0 |\vec u_E |^2\) (für alle \(\vec u_E\in H^1 (\Omega)\), \(t\in [0,T ]\), \(E= H\) oder \(P\)). Existenz und Eindeutigkeit der Lösung werden gezeigt. In a-priori- Abschätzungen (Energie-Ungleichungen) wird die Abhängigkeit der Konstanten von den Koeffizienten der Operatoren untersucht.

MSC:
35K50 Systems of parabolic equations, boundary value problems (MSC2000)
35L55 Higher-order hyperbolic systems
35A05 General existence and uniqueness theorems (PDE) (MSC2000)
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