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Addition theorems for finite abelian groups. (English) Zbl 0836.11007

Sei \(G\) eine abelsche Gruppe der Ordnung \(n\) und \(S= (a_1, \dots, a_k)\) eine Folge von Elementen aus \(G\), wobei Wiederholungen erlaubt sind. Für \(r\) mit \(1\leq r< k\) wird definiert \(\sum_{\leq r} (S):= \{a_{i_1}+ \dots+ a_{i_l}\mid 1\leq i_1< \dots< i_l\leq k\); \(1\leq \ell\leq r\}\) und \(\sum_r (S):= \{a_{i_1}+ \dots+ a_{i_r}\mid 1\leq i_1< \dots< i_r\leq k\}\). Für \(r=k\) wird für \(\sum_{\leq r} (S)\) kurz \(\sum (S)\) geschrieben. Für eine Folge \(S= (a_1, \dots, a_k)\) bedeutet \(b+S: =(b+ a_1, \dots, b+a_k)\) \((b\in G)\). Als Beispiel für die bei der Arbeit erzielten Resultate sei genannt:
Theorem 1: Sei \(S= (a_1, \dots, a_{n+k})\) eine Folge von \(n+k\) \((k\geq 0)\) Elementen einer abelschen Gruppe der Ordnung \(n\); außerdem sei für jedes \(b\in G\) und jede Teilfolge \(T\) von \(S\) mit \(k+1\) Elementen \(0\in \sum (b+T)\). Dann gilt \(\sum_n (S)= \bigcap_{b\in G} \sum (b+ S)\).
Reviewer: E.Härtter (Mainz)

MSC:

11B13 Additive bases, including sumsets
20K01 Finite abelian groups
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