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On Poisson groupoids. (English) Zbl 0836.58019

La notion de groupoïde de Poisson est due à A. Weinstein et généralise à la fois les notions de groupe de Poisson et de groupoïde symplectique. J’ai donné [cf. par ex. C. Albert et le rapporteur, Publ. Dpt. Math. Lyon, Nouvelle Série, 27-99 (1990)] une caractérisation très simple des groupoïdes de Poisson: \((\Gamma, \Lambda)\) est un groupoïde de Poisson si et seulement si \(\Lambda^\# \Upsilon^*\Gamma\to T\Gamma\) est un morphisme de groupoïdes de Lie. L’auteur donne ici une autre caractérisation utilisant les glissements associés aux bisections coïsotropes: si l’espace des unités n’est pas réduit à un point, il apparaît un terme nouveau par rapport au cas des groupes que l’auteur interprète, à tort, comme une contribution de type “affine”.
(Il existe d’ailleurs une notion, généralisant la notion de groupe de Poisson affine [cf. le rapporteur et D. Sondaz, Math. Sci. Res. Inst. Publ. 20, 99-128 (1991; Zbl 0732.58015)] de groupoïdes de Poisson affines [cf. the rapporteur, J.-H. Lu, D. Sondaz et A. Weinstein, C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 312, No. 7, 523-527 (1991; Zbl 0728.58013)]. Ce terme nouveau traduit simplement le fait que \(\Gamma_0\) n’est pas réduit à un point.
Dans un article antérieur MacKenzie et l’auteur ont introduit la notion de bialgébroïde de Lie – généralisant la notion de algèbre de Lie – et établit qu’à tout groupoïde de Poisson est associé canoniquement un bialgébroïde de Lie. L’auteur donne ici une version directe de ce résultat qui, en fait, est très proche de la preuve analogue pour un groupe de Poisson donnée par rapporteur et Sondaz. De même l’auteur établit qu’un morphisme de groupoïde de Poisson induit un morphisme des bialgébroïdes associé et s’intéresse ensuite au problème inverse en particulier dans le cas où le but est une bigèbre de Lie. Ceci lui permet d’étudier le relèvement d’une action de Poisson d’un groupe de Poisson \(G\) sur une variété de Poisson \(P\) à son groupoïde symplectique à fibre simplement connexe \(\Gamma\) (si il existe), qui se trouve alors équipé d’un morphisme \(\Phi\) de \(\Gamma\) dans le groupe (simplement connexe) dual \(G^*\) de \(G\), qui est le moment au sens de Lu de l’action de \(G\) dans \(\Gamma\); le cas classique du moment au sens de Souriau correspond au cas où la structure de Poisson de \(G\) est la structure nulle, \(G^*\) étant alors le dual de l’algèbre de Lie de \(G\). Bien entendu les constructions globales ne sont possibles que sous certaines hypothèses de complétions.

MSC:

37J99 Dynamical aspects of finite-dimensional Hamiltonian and Lagrangian systems
22A22 Topological groupoids (including differentiable and Lie groupoids)
58H05 Pseudogroups and differentiable groupoids
53C15 General geometric structures on manifolds (almost complex, almost product structures, etc.)
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