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Iwasawa theory of \(p\)-adic representations over a local field. (Théorie d’Iwasawa des représentations \(p\)-adiques sur un corps local.) (French) Zbl 0838.11071
L’auteur construit ici une vaste généralisation fonctorielle de l’homomorphisme de R. Coleman [Invent. Math. 53, 91-116 (1979; Zbl 0429.12010)] à toute représentation \(p\)-adique cristalline \(V\) du groupe de Galois \(G = \text{Gal} (\overline H/H)\) de la clôture algébrique d’un corps local \(H\) non ramifié et de degré fini sur \(\mathbb{Q}_p\). Le résultat d’existence et d’unicité (obtenu en considérant l’ensemble des tordues à la Tate des représentations) peut s’exprimer comme suit: soit \(H_\infty = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} H_n\) la tour cyclotomique sur \(H\) (avec \(H_n = H [\zeta_{p^{n + 1}}]\) et \(p\) impair), \(\varepsilon = (\zeta_{ p^n})_{n \in \mathbb{N}}\) une famille cohérente de racines \(p^n\)-ièmes de l’unité, \(G_\infty = \text{Gal} (H_\infty/H)\) et \(\Lambda = \mathbb{Z}_p [G_\infty]\) l’algèbre d’Iwasawa associée, \(\gamma \) un générateur topologique du groupe procyclique \(\Gamma = \text{Gal} (H_\infty/H_0)\), puis \({\mathcal H}_r (\Gamma)\) l’ensemble des séries formelles en l’indéterminée \(T = \gamma - 1\) sur \(\mathbb{Q}_p\) qui sont dominées en \(o (\log (1 + T)^h)\) sur le disque unité, et \({\mathcal H}_\infty (G_\infty)\) la réunion des \({\mathcal H}_r (G_\infty) = {\mathcal H}_r [\Gamma] \otimes_{\mathbb{Z}_p [ \Gamma]} \Lambda\). Si \(V\) est une représentation \(p\)-adique cristalline de \(G\), et \(T(0)\) un réseau de \(V\) stable par \(G\), on note \(T(j)\) son \(j\)-ième tordu à la Tate et \(Z^1_\infty (T(j))\) le \(\Lambda\)-module de type fini limite projective des \(H^1 (H_n, T(j))\) relativement aux corestrictions, \(Tw^\varepsilon_{j,v}\) enfin l’isomorphisme de \(Z^1_\infty (T(0))\) sur \(Z^1_\infty (T(j))\) donné par \(x \mapsto x \otimes \varepsilon^{\otimes j}\). On introduit par ailleurs l’ensemble \(W[[T]]^{\psi = 0}\) des séries formelles en \(T\) à coefficients dans l’anneau \(W\) des entiers de \(H\) qui vérifient \(\sum_{\zeta \in \mu_p} f(\zeta (1 + T) - 1) = 0\) puis \(\Delta\) l’application de \({\mathcal D} (V) = W[[T]]^{\psi = 0} \otimes_W D_{\text{cris}} (V)\) dans \(D_{\text{cris}} (V)/(1 - p^r \varphi) D_{\text{cris}} (V)\) donnée par: \[ \Delta |f \otimes d \mapsto (D^rf) (0) d \bigl[ \text{mod} (1 - p^r \varphi) D_{\text{cris}} (V) \bigr], \] où \(D\) est l’opérateur différentiel \((1 + T)/(d/dT)\) et \(\varphi\) agit sur \(W\) par le Frobenius \(\sigma\) et sur \(T\) par \(\varphi (T) = (1 + T)^p - 1\).
Cela posé, le théorème principal affirme l’existence d’une unique famille d’endomorphismes de \({\mathcal H}_\infty (G_\infty)\)-modules pour \(h \gg 0\) et \(j \in \mathbb{Z}\) (dépendant de \(\varepsilon)\): \[ \Omega^\varepsilon_{V(j), h} \mid {\mathcal H}_\infty (G_\infty) \otimes {\mathcal D} (V(j))^{\Delta = 0} \to {\mathcal H}_\infty (G_\infty) \otimes_\Lambda Z^1_\infty \bigl( T(j) \bigr)/T(j)^{\text{Gal} (\overline H/H_\infty)} \] telle que
(i) l’image \(\Omega^\varepsilon_{V(j) , h} (f \otimes d)\) d’un élément de \({\mathcal D} (V)\) dans \(H^1 (H_n, V(j))\) soit \((h - 1)! \exp_{ H_n, V(j)} (g_n)\) avec \(g_n = (p (\sigma \otimes \varphi))^{- (n + 1)} (G) (\zeta_n - 1)\) et \((1-\varphi) G = f\), où \(\exp_{H_n, V(j)}\) est l’exponentielle de Bloch-Kato de \(H_n \otimes_H D_{ \text{cris}} (V)\) dans \(H^1 (H_n, V)\);
(ii) et qu’on ait en outre \(Tw^\varepsilon_{1, V(j)} \circ\Omega^\varepsilon_{V(j), h} \circ D = - \Omega^\varepsilon_{V (j + 1), h + 1}\). Ces \(\Omega^\varepsilon_{V (j), h}\) qui sont injectifs peuvent être vus comme une application “période”.
Du résultat ci-dessus l’auteur déduit en particulier une interprétation cristalline du \(r\)-ième tordu de l’isomorphisme de Coleman, ainsi qu’une nouvelle démonstration du théorème de Bloch-Kato sur les nombres de Tamagawa locaux de \(\mathbb{Q}_p (r)\), \(r \geq 2\); elle montre aussi que toute représentation \(p\)-adique extension de \(\mathbb{Q}_p\) par \(\mathbb{Q}_p (r)\) est cristalline. Des résultats de Coleman pour \(r = 1\), elle tire une loi de réciprocité explicite sur \(H_\infty\) et retrouve ainsi le résultat de Kato sur le lien entre applications de Coates-Wiles et de Fontaine-Messing. Chemin faisant, elle avance quelques conjectures très générales sur les objets introduits, notamment une identité \(\delta (V)\) sur le déterminant de \(\Omega^\varepsilon_V\) et une formule explicite de dualité locale \(\text{Rec} (V)\) dont elle montre qu’elle est vérifiée dans le cas de \(\mathbb{Q}_p (r)\) et entraîne également le propriété \(\delta (V)\).

MSC:
11R23 Iwasawa theory
14F30 \(p\)-adic cohomology, crystalline cohomology
11S20 Galois theory
11S25 Galois cohomology
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Full Text: DOI EuDML
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