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Iwasawa theory and \(p\)-adic heights (case of abelian varieties). (Théorie d’Iwasawa et hauteurs \(p\)-adiques (cas des variétés abéliennes).) (French) Zbl 0838.11072
David, Sinnou (ed.), Séminaire de théorie des nombres, Paris, France, 1990-1991. Basel: Birkhäuser. Prog. Math. 108, 203-220 (1993).
L’auteur esquisse ici les grandes lignes d’une démonstration simplifiée de la formule analogue à la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer pour la série caractéristique \(s \mapsto {\mathcal L}_p (A, \rho^s)\) du groupe de Selmer \(X_{\infty, f} (A)\) attachée à une variété abélienne \(A\) sur un corps de nombres \(F\), ayant borne réduction ordinaire aux places de \(F\) divisant \(p\): avec les notations habituelles de la théorie d’Iwasawa, \(A'\) désignant la variété abélienne duale de \(A\), si la hauteur \(p\)-adique \[ \langle , \rangle_{\rho, A} : \mathbb{Q}_p \otimes_\mathbb{Z} A(F) \times \mathbb{Q}_p \otimes_\mathbb{Z} A'(F) \to \mathbb{Q}_p \] associée à un morphisme continu nontrivial du groupe procyclique \(\Gamma = \text{Gal} (K_\infty/K)\) dans \(\mathbb{Z}_p^\times\) est nondégénérée, et le groupe \(\text{ Ш} (A') (p)\) fini, \(X_{\infty, f} (A)\) est alors un \(\mathbb{Z}_p [[\Gamma]]\)-module de torsion, la fonction \({\mathcal L}_p (A, \rho^s)\) a un zéro d’ordre \(s(A) = \dim_\mathbb{Q} \mathbb{Q} \otimes_\mathbb{Z} A(F)\) en \(s = 0\), et l’on a: \[ \lim_{s \to 0} {\mathcal L}_p (A, \rho^s) s^{- s(A)} = \prod_v \ell_v (A) \cdot \text{disc} \cdot \langle , \rangle_{ \rho, A} \cdot \# (\text{ Ш} (A') (p))\;\text{[modulo }\mathbb{Z}_p^\times], \] où \(\ell_v (A)\) est le nombre de Tamagawa de \(A\) en \(v\) pour \(v \nmid p\), et \(\# (A (\widetilde F_v))^2\) pour \(v \mid p\) de corps résiduel \(\widetilde F_v\).
L’intérêt de cette approche de l’auteur est qu’elle n’utilise pas de géométrie algébrique, mais uniquement les propriétés de la représentation \(p\)-adique attachée à la variété abélienne \(A\) à l’instar de la méthode très générale développée dans [Invent. Math. 115, 81-149 (1994; Zbl 0838.11070)] dont le présent travail peut être regardé comme une illustration dans le contexte plus simple des variétés abéliennes (où l’hypothèse de bonne réduction aux places divisant \(p\) n’intervient en fait que dans le calcul des \(\ell_v (A))\).
For the entire collection see [Zbl 0801.00020].

MSC:
11R23 Iwasawa theory
11G10 Abelian varieties of dimension \(> 1\)
14K15 Arithmetic ground fields for abelian varieties
11G40 \(L\)-functions of varieties over global fields; Birch-Swinnerton-Dyer conjecture
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