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\(p\)-adic \(L\)-functions of an elliptic curve and rational points. (Fonctions \(L\) \(p\)-adiques d’une courbe elliptique et points rationnels.) (French) Zbl 0840.11024
L’auteur applique les résultats très généraux sur la théorie d’Iwasawa des représentations \(p\)-adiques cristallines établis dans un article antérieur [Invent. Math. 115, 81-161 (1994; Zbl 0838.11071)] à la construction de fonctions \(L\) \(p\)-adiques pour les courbes elliptiques ne possédant plus nécessairement de conjugaison complexe.
Partant d’une courbe elliptique \(E\) définie sur \(\mathbb{Q}\) qui a bonne réduction en \(p\), notant \(T=T_p(E)\) son module de Tate et \(G_\infty= \text{Gal}(\mathbb{Q}[\mu_{p^\infty}]/\mathbb{Q})\), l’auteur considère un module noté \(H^i_{\infty, S}(T)\) sur l’algèbre d’Iwasawa \(\Lambda= \mathbb{Z}_p[[G_\infty]]\) qui joue le rôle de la limite projective des groupes d’unités globales le long de la \(\mathbb{Z}_p\)-extension de la théorie classique. Puis, à l’aide des monomorphismes à la Coleman \(\Omega^\varepsilon_{V, j}\) définis dans le travail précédent (op. cit.), elle associe à tout élément non nul \(\omega\) de \(H^1_{\infty, S}(T)\) sa préimage \(L_\omega= (\Omega^\varepsilon_{V, 0})^{- 1}(1\otimes \omega)\) dans \(\text{Frac}({\mathcal H}(G_\infty)\otimes_{\mathbb{Z}_p} D_p(V))\) où \({\mathcal H}(G_\infty)\) est une algèbre de fonctions contenant \(\Lambda\) dont les éléments satisfont une propriété de domination, et \(D_p(V)= H^0(\mathbb{Q}_p, V\otimes B_{\text{cris}})\) le module filtré sur \(\mathbb{Q}_p\) associé à \(V\) par la théorie de Fontaine. Elle utilise alors les résultats sur les \(\Omega^\varepsilon_{V, j}\) qu’elle a établis antérieurement ou bien conjectures (notamment la conjecture \(\delta(V)\) sur le déterminant et, plus généralement, la conjecture \(\text{Rec}(V)\) qui postule une formula explicite de dualité locale, toutes deux vérifiées sous une hypothèse de bonne réduction ordinaire) pour étudier les principales propriétés des objets obtenus. En particulier, la conjecture \(\delta(V)\) entraîne \(L_\omega\in {\mathcal H}(G_\infty) \otimes_{\mathbb{Z}_p} D_p(V)\), et ceci permet de définir une fonction \({\mathcal L}_\omega\) sur le groupe des caractères continus de \(G_\infty\) à valeurs dans \(\overline{\mathbb{Q}}^\times_p\) par: \({\mathcal L}_\omega(\eta)= \eta(L_\omega)\).
L’auteur calcule alors les valeurs de \(L_\omega(\eta)\) et le \({\mathcal L}_\omega'(\eta)\) pour \(\eta\) d’ordre fini, ainsi que les \({\mathcal L}_\omega(\chi^j)\) pour les puissances du caractère cyclotomique \(\chi\): l’expression de \({\mathcal L}_\omega(\eta)\) fait intervenir l’application duale de l’exponentielle (sur une extension finie \(K\) de \(\mathbb{Q}_p\)), \[ \lambda_{V, K}\mid H^1(K, V)/H_f'(K, V)\to K\otimes_{\mathbb{Q}_p}\text{Fil}^0 D_p(V), \] et celle de \({\mathcal L}_\omega'(\eta)\) (pour \({\mathcal L}_\omega(\eta)= 0\)) met en jeu les hauteurs \(p\)-adiques, similairement aux résultats obtenus par K. Rubin dans le cas ordinaire de la multiplication complexe.
Le lien conjecturé, pour un choix “naturel” de \(\omega\), entre la fonction \({\mathcal L}_\omega\) ainsi définie et les fonctions \(L\) \(p\)-adiques obtenues par interpolation (pour les courbes elliptiques modulaires) conduit enfin l’auteur à proposer une extension de la formule de K. Rubin [Invent. Math. 107, 323-350 (1992; Zbl 0770.11033)], une conjecture \(p\)-adique \(\text{BSD}(V)\) à la Birch et Swinnerton-Dyer, une conjecture de Bloch-Kato \(\text{BK}(V, j)\) pour \({\mathcal L}_\omega(\chi^j)\), ainsi que des conjectures principales \(\text{CP} (V)\) et \(\text{CP}'(V)\) à la Iwasawa, dont elle discute diverses implications.

MSC:
11G05 Elliptic curves over global fields
11G40 \(L\)-functions of varieties over global fields; Birch-Swinnerton-Dyer conjecture
11R23 Iwasawa theory
11R42 Zeta functions and \(L\)-functions of number fields
11S25 Galois cohomology
14G10 Zeta functions and related questions in algebraic geometry (e.g., Birch-Swinnerton-Dyer conjecture)
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Full Text: DOI Numdam EuDML
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